Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften

Ostwald 's
lassiker der

exakten

Wissenschaf.

SEP 2B 195D

3 7^7

5i rkaxi funa

Allgemeine Grundlagen

einer

Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten

im Zustand des Gleichgewichts,

Von

Carl Friedrich Gauss.

(Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingen sis
recentiores Vol. VII. 1830, geschrieben 1829.)

Uebersetzt
von

Rudolf H. Weber

(Heidelberg).

Herausgegeben
von

H. Weber

(Strassburg).

Mit 1 Figur im Text.
+ « »»

Leipzig
Verlag von Wilhelm Engelmann
1903.

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003

Allgemeine Grundlagen

einer Theorie der Gestalt yod Flüssigkeiten

im Zustande des Gleichgewichts.

Die Kräfte, die das Aufsteigen oder Herabdrücken von
Flüssigkeiten in Capillarrehren verursachen, hat zuerst eingehend
Clairaut aufgezählt. Da er aber das Gesetz der Kräfte über-
haupt nicht berührt hat, so konnten keine Früchte für eine
mathematische Behandlung der Erscheinungen daraus gewonnen
werden. Die gewöhnliche Anziehung, die dem Quadrate des
Abstandes umgekehrt proportional ist, und die alle Bewegungen
am Himmel mit so gutem Erfolge darstellen lässt, kann weder
bei der Erklärung der Capillarerscheinungen, noch der der Ad-
häsion oder Cohäsion Anwendung finden; es lehrt nämlich eine
richtig aufgestellte Berechnung, dass eine nach diesem Gesetze
wirkende Anziehung eines beliebigen Körpers, der zur Aus-
führung von Experimenten geeignet ist, d. h. dessen Masse im
Vergleich mit der der Erde vernachlässigt werden kann, auf
einen beliebig gelegenen, sogar den Körper berührenden Punkt
im Vergleich mit der Schwere verschwinden muss*). Wir
schliessen hieraus, dass jenes Anziehungsgesetz in den kleinsten
Abständen mit der Wahrheit nicht mehr tibereinstimmt, sondern
dass es eine Modification erfordert. Mit anderen Worten: die
Partikeln der Körper üben ausser jenen anziehenden Kräften noch
eine andere Kraft aus, die nur in den kleinsten Abständen merklich
ist. Alle Erscheinungen beweisen übereinstimmend, dass dieser

*) Die grösste Anziehung, die eine gegebene homogene Masse
auf einen gegebenen Punkt nach diesem Gesetze ausüben kann,
verhält sich zu der Anziehung, die die gleiche Masse, wenn wir
sie in Kugelgestalt überführen . auf einen auf ihrer Oberfläche ge-

legenen Punkt ausübt, wie 3 : } 25 . Diese letztere Anziehung aber
lässt sich leicht mit der Schwere vergleichen.

1*

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4

Carl Friedrich Gauss.

<

zweite Theil der anziehenden Kraft (die Molecularanziehung)
auch in den kleinsten noch messbaren Abständen unmerklich
ist. Dagegen kann er in unmessbar kleinen Abständen den
ersten (dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportionalen)
Theil weitaus überwiegen.

Laplace hat, von dieser einzigen Voraussetzung über die
Beschaffenheit der Molecularkräfte ausgehend, im Uebrigen aber
ohne irgend welche Annahmen über das Gesetz des Abnehmens
der Kräfte bei zunehmenden Abständen, zuerst die Einwirkung
derselben auf die Form von Flüssigkeitsoberflächen einer strengen
Rechnung unterworfen. Er hat die allgemeine Gleichung für
die Gleichgewichtsform aufgestellt und daraus nicht nur die
eigentlichen capillaren, sondern auch manche damit verwandte
Erscheinungen zu erklären vermocht. Diese Untersuchungen,
die in der auffälligen Uebereinstimmung mit sorgfältigen Ex-
perimenten ihre Bestätigung gefunden haben, zählen zu den
schönsten Bereicherungen der Naturwissenschaft, die wir dem
grossen Mathematiker verdanken. Die von einigen Autoren
gegen sie gerichteten Entgegnungen aber sind meist von ge-
ringem oder gar keinem Belang*).

Bei den Berechnungen von Laplace finden wir gleichwohl
einiges, was mit einer strengen Beweisführung nicht völlig ver-
träglich ist. In der ersten Abhandlung: >thöorie de l'action
capillaire « , bezeichnet Laplace mit (/ [f) die Intensität der An-
ziehung im Abstände f und führt weiter folgende Zeichen ein:

ß P (f)df = n[x)

x

fWffdf= V{x)

X

2;cfH'{f)df= K

0

2nf¥(ntdf=II.

0

Die Form der Function rp(f) wird weiter nicht bestimmt, nur

* Dieses Urtheil gilt von den meisten Entgegnungen in der
Zeitschrift von Pavia 'öiornale di fisica etc. T. 9j, auf die Petit in
den »Annales de chimie et de physique« T. 4 treffend erwidert hat.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 5

wird festgesetzt, dass sie unmessbar kleine Werthe annimmt,
wenn f messbare Grössen erreicht. Aber aus dieser einen An-
nahme darf keineswegs geschlossen werden, dass auch ülf)
und l ¥[f) für messbare Werthe f unbedingt unmessbar klein
werden. Ebenso wenig geht daraus hervor, dass die Integrale
2 7t5ip(f) df; 2 7i$(fj(f) fdf von/"=0 bis zu einem endlichen,
aber messbar grossen Werthe von f integrirt, nur noch un-
messbar wenig von K und H abweichen, wie in der Abhand-
lung angenommen ist. Denn es lassen sich unendlich viele
Formen der Function rp(f) denken, die der Grundhypothese
zwar genügen, bei denen aber ein solcher Schluss irrig wäre.
Wenn z. B. angenommen wird, dass (p {/) die vollständige An-
ziehung ausdrückt, so rauss auch ein Glied der Form ajf darin
enthalten sein, das die gewöhnliche Massen- Anziehung darstellt.
Wenn aber auch dieses Glied als unmessbar klein anzusehen
ist, wenn die Dimensionen der anziehenden Körper, wie sie
in Experimenten vorkommen können, gegenüber der ganzen
Erde unmessbar klein sind, so würde doch schon die zweite
Integration, wenn sie ins Unendliche erstreckt wird, einen un-
endlich grossen Term der Function ip'f) liefern. Wenn aber
auch hierdurch der Schein einer leichten Unachtsamkeit er-
weckt wird, so betrifft diese doch sicherlich mehr die Form
der Darstellung, als die Sache selbst. Aus der zweiten Ab-
handlung: > Supplement a la th£orie de l'action capillaire«, geht
nämlich hervor, dass Laplace stillschweigend unter (p (f) nicht
die gesammte Anziehung, sondern nur den Theil verstanden
hat, der zu der gewöhnlichen Anziehung hinzutritt. Denn es
ist leicht einzusehen, dass die letztere keine merkliche Ver-
änderung bei unseren Experimenten bedingen kann. In der
That bemerkt er, dass er sich (p (f) nach Art einer Exponential-
function e~ vorstellt, worin i sehr gross ist, oder, besser ge-
sagt, worin \ji eine sehr kleine Länge bedeutet. Aber es ist
keineswegs nöthig, die Allgemeinheit so sehr zu beschränken.
Denn wer mehr auf die Sache als auf die Worte sieht, bemerkt
leicht, dass es gentigt, wenn man jene Integration nicht bis
ins Unendliche, sondern nur bis zu einer willkürlichen mess-
baren Entfernung erstreckt oder, wenn man so will, bis zu
einer endlichen Entfernung, die an Grösse alle im Experiment
auftretenden Dimensionen übertrifft.

Jedoch an einem weit schwerer wiegenden Mangel leidet die
Lopfaee'sche Theorie, und den haben, so viel ich sehe, seine
Angreifer nicht einmal bemerkt. Die Theorie besteht aus zwei

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Carl Friedrich Gauss.

Theilen. Im einen wird für die freie Oberfläche der Flüssig-
keit eine allgemeine Gleichung zwischen den partiellen Diffe-
rentialen der Coordinaten aufgestellt. Diese Gleichung hängt
aber von der anziehenden Molecularkraft ab, die die Flüssig-
keitstheilchen wechselseitig auf einander ausüben. Und dieser
Theil ist so durchgeführt, dass nichts Wesentliches hinzuzu-
setzen bleibt. Aber eine solche Gleichung zwischen partiellen
Differentialen (deren Integration, wenn überhaupt möglich, will-
kürliche Functionen liefert) genügt nicht zur vollständigen Be-
stimmung der Oberflächengestalt. Diese erfordert vielmehr eine
neue Bedingung, die eine Eigenschaft der Oberfläche an den
Grenzen ausdrückt. Eine solche Bedingung stellt der zweite
Theil der Theorie auf, nämlich die, dass der Winkel constant
ist, den die Tangentialebene an die freie Oberfläche an der
Grenze des Gefasses (oder genauer an der Grenze des Bereiches
der merkbaren anziehenden Kraft der Gefässwandung) mit der
Tangentialebene an die Gefässwand an eben der Stelle ein-
schliesst. Dieser Winkel ist nämlich bestimmt durch das Ver-
hältniss der Molccularkräfte des Gefasses und der Flüssigkeit,
und er ist nur insofern constant, als die Continuität der Gefäss-
form in der Nachbarschaft der freien Oberfläche nirgends unter-
brochen ist. Aber diesen für die ganze Theorie wichtigen Satz
hat Laplace nicht durch Rechnung bewiesen; denn was er auf
Seite 5 der ersten Abhandlung darauf bezügliches beibringt, ist
nur eine undeutliche Ausführung und setzt das zu Beweisende
bereits voraus. Die Rechnungen Seite 44 u. f. führen nicht
zum Ziel. In der zweiten Abhandlung aber wird die Steighöhe
von Flüssigkeiten in Capillaren nach anderer Methode behandelt.
Die Ergebnisse dieser vereint mit der ersten Methode liefern
eine Formel (und zwar die richtige) für den erwähnten Winkel
"zwischen den Tangentialebenen. Es ist aber zu bemerken, dass
hier eigentlich schon vorausgesetzt wird, dass der Winkel con-
stant ist. Ausserdem beschränkt sich die an sich schon wenig
befriedigende Methode auf einen sehr speciellen Fall, nämlich
den, dass das Gefäss prismatisch ist und vertieale Wände be-
sitzt. Nach diesen Erwägungen muss man zugeben, dass die
von Laplace aufgestellte Theorie in wesentlichen Punkten bis
jetzt noch unzureichend und unvollständig ist.

Wir wollen deshalb die Theorie der Gleichgewichtsfigur von
Flüssigkeiten, die unter dem Einflüsse der Schwere und der
von ihr selbst und dem Gefässe ausgeübten Molecularkräfte
stehen, von neuem wieder aufnehmen. Hierbei werden wir

V

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 7

eine wesentlich andere Methode anwenden, die wir aus den
Grundprincipien der Dynamik ableiten, und wir wollen von
Anfang an die grösste Allgemeinheit bewahren. Diese Unter-
suchung führt zu einem ausgezeichneten neuen Theorem, das
die vollständige Theorie in einer einzigen sehr einfachen Formel
enthält. Aus dieser lassen sich leicht die beiden Theile der
Laplace sehen Theorie ableiten.

1.

Um eine Gleichgewichtsgleichung für ein System beliebig
vieler Massenpunkte, deren Bewegungen irgend welchen Be-
dingungen unterworfen sind, aufzustellen, eignet sich am besten
das Princip der virtuellen Verschiebungen, das wir folgender-
maassen aussprechen.

Es möge ein System aus den Massenpunkten ra, in, m" etc.
bestehen, und in diesen Punkten seien Massen concentrirt, die
wir mit denselben Buchstaben bezeichnen wollen. Ferner sei
P eine der beschleunigenden Kräfte, die auf den Punkt in
wirken. Denken wir uns nun dem System irgend eine unend-
lich kleine mit den Bedingungen verträgliche Bewegung (virtuelle
Verschiebung) zuertheilt, so soll dp die Verschiebung des Punktes
in in Richtung der Kraft P bedeuten, d. h. also die Verschie-
bung multiplicirt mit dem Cosinus des Winkels, den sie mit
der Richtung der Kraft P bildet. Es sei endlich — Pdp die
Summe aller solcher Produkte, die man bilden kann unter Be-
rücksichtigung aller im Punkte in angreifenden Kräfte. In
gleicher Weise soll P' die auf den Punkt in' wirkenden Kräfte,
dp' die Projectionen der Verschiebungen auf die Kraftrichtungen
bezeichnen, und ebenso für die übrigen Punkte.

Die Gleichgewichtsbedingung für das System besteht nun
darin, dass die Summe

m2Pdp -f- m'ZP'dp + m"2P"dp" -\

für jede virtuelle Verschiebung verschwindet. Es ist dies die
allgemein gegebene Fassung des »Princips der virtuellen Ver-
schiebungen«. Strenger genommen darf diese Summe für keine
virtuelle Verschiebung positive Werthe annehmen.

2.

Die hier in Betracht kommenden Kräfte können in drei
Klassen zerlegt werden.

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Carl Friedrich Gauss.

I. Die Schwere. Ihre Intensität kann für die einzelnen
Punkte als gleich, ihre Richtungen als einander parallel an-
gesehen werden. Wir bezeichnen sie mit dem Buchstaben g.

II. Die anziehenden Kräfte, die die Punkte m, tri, m" u. s. w.
auf einander ausüben. Die Grösse dieser Anziehung setzen wir
proportional einer Function des Abstandes an, d. h. gleich dem
Product aus dieser Function — die wir durch das Zeichen f
charakterisiren wollen — und der in dem anziehenden Punkte
concentrirten Masse.

III. Die Kräfte, mit denen die Punkte 771 f m' } 771 " U. S. f.
nach irgend welchen festen Punkten hin angezogen werden.
Zur Bezeichnung dieser Kräfte möge in gleicher Weise, wie
vorher, der Buchstabe F, der dem jeweiligen Abstand voran
zu schreiben ist, dienen. Die festen Punkte selber, sowie auch
die in ihnen concentrirt gedachten Massen mögen mit J/, M\ M"
etc. bezeichnet werden.

Wir wollen nun noch den Abstand der zwei Punkte m und
77i' mit dem Zeichen (/», m'), den Abstand von m und M mit
[m, M) bezeichnen u. s. f. Endlich seien die verti-

calen Höhen der Punkte ?«, m', m" . . . über einer willkürlich
festzulegenden Horizontalebene //. Der Complex 2Pdp enthält
dann folgende Glieder:

Es sind hier d l(m f m' )d \[m,m") u. s. w. partielle Differentiale y
d. h. sie beziehen sich nur auf die virtuelle Verschiebung des
Punktes m.

Wir wollen hier an Stelle von f diejenige Function einführen,
durch deren Differentiation f entsteht. Es sei also

Die Integrationsconstante kann hier beliebig gewählt werden.
Wenn es zweckmässig scheint, mag sie so bestimmt werden,
dass f(oo) = 0 wird. Es bezeichnet dann (p [t] das bestimmte
Integral :

— gdx

— 771' f [77i t 77i )d{7n t m) — m" f(m,m")d(m,m")

— m"f[m,m''')d{m,m"') . . . etc.

— MF[m,M)d[m,M) — M'F[m,M')d{m,M')

— tf'F{m,M")d(m,M") . . . etc.

— f(x)dx = dfp{x)

oder:

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 9

X = QO

ff(x)dx.

x-t

In gleicher Weise führen wir an Stelle von F eine Function
Ü* ein, die gegeben ist durch die Gleichung:

— F[x)dx = d®(x).

Es wiid jetzt

2Pdp =

— gdz

+ m'd(p{m,m') + m"drp[vi,m") + vi" d(p{m,vi'") + • • •
+ 3/d<D(m,3/) + M'dO{vi,M') + M"dcp{m,M") H

und hierin sind wieder die Differentiale der zweiten Zeile partielle
Differentiale, die nur von der Verschiebung von vi abhängen.

Es hat offenbar jedes dieser Differentiale seine Ergänzung
in einem anderen Complex. So enthält sowohl der Complex
m^Pdp als auch der Complex vi* 2P' dp' das partielle Diffe-
rential m m' d(p{m,m') y aber im einen bezieht sich das partielle
Differential d nur auf die Bewegung von vi, im anderen nur
auf die von vi. Es geht hieraus hervor, dass die in Abschnitt 1
aufgestellte Summe ein vollständiges Differential bildet, das
= dQ ist, wenn wir setzen:

O =

— gmz — gvi'% — gm"z" • • • •

-f- mm' cp(m,vi') -f mm" (p[m,vi) + mm'" (p[vi,vi"') + ••••

+ m f vi'cp{vi/m") + m'm'" cp(vi f 'vi"') + • • • •

+ " tn i " rrr\ •
vi vi cp ( m, vi )+••••

-{- viMa>[m,M) + viAf'®{m.,M') + viM" <D(vi,M") +

-h m' M®(m,'M) + m'M' ®(m,'M') + vi' M" tf> (m/ JT ) -f- ....

+ m"MQ{m;'M) + m"if <Z>(m/^/') + m"tf'(D{m;'M") H

j ■ • • » •

Die Gleichgewichtsbedingung besteht demnach darin, dass
der Werth der Function £2 durch keine virtuelle Verschiebung
einen positiven Zuwachs erlangen kann, oder, was dasselbe ist,
dass Q ein Maximum ist.

Wir können die Function Q auch in der Form schreiben:

{2=2m{— ^Ä+i-w*V/5(w*,?»')+^w'V/?(w / w'')+^w , ''y(w / w // ')H

+ MO [m, M) + M' O [m, M' ) + M"0 (m, M") + . . • • }

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Carl Friedrich Gauss.

Hierin soll das Zeichen «2 ausdrticden, dass über alle die Aus-
drücke summirt werden soll, die man erhält, wenn in vorstehen-
der Form nach einander m mit m\ m", m" u. s. w. vertauscht
wird.

3.

Wenn wir uns an Stelle discreter Punkte M, M\ M" . . .
einen Körper denken, der continuirlich einen Raum S mit gleich-
förmiger Dichte = C erfüllt, dann tritt an Stelle der Summe

M0(m,M) + M'OUn.M') + M"®[m,M") + etc.
das Integral

CfdS<D[m,dS ,

das über den ganzen Raum S zu erstrecken ist. Es bezeichnet
hier analog der früheren Bedeutung (m,dS) den Abstand des
Punktes m von jedem Raumelemente dS des Raumes S.

Wenn nun ferner an Stelle der discreten Punkte m, iri, in
etc. ein eontinuirlicher Körper tritt, der einen Raum s mit
gleichförmiger Dichte = c erfüllt, dann erfordert die Berech-
nung von £2 eine zweifache Integration.

Es ergiebt sich dann zunächst für einen vorerst noch un-
bestimmten Punkt u ein Werth

— 9* + \<{fds<p{u,ds) + CfdS 0{p,dS) ,

worin z die Höhe des Punktes u über der Ebene II bedeutet,
und das erste Integral über den ganzen Raum s, das zweite
über den ganzen Raum S zu erstrecken ist. Dieser Werth
hängt nur von der Lage von <u ab. Bezeichnen wir ihn mit
[ju], so wird

Q = cfds [u],

und hierin ist die Integration wieder über den ganzen Raum 8
zu erstrecken.

Wir können das kurz ausdrücken durch:

& = —gcfzds + \ciffdsds'(f> [d8,ds) -f- Cc JfdsdSQ>{ds,dS).

Hierin bezeichnen s und s beide ein und denselben Raum
(nämlich den vom beweglichen Körper erfüllten). Er muss aber
zweimal in seine Elemente aufgelöst werden zum Zwecke der
doppelten Integration.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 11

4.

Das charakteristische Merkmal flüssiger Körper besteht in
der vollkommenen Beweglichkeit selbst der kleinsten Theilchen.
Sie können also beliebige Formen annehmen und müssen auch
den denkbar kleinsten Kräften, die ihre Formen zu verändern
suchen, nachgeben. In inexpansibeln (tropfbaren) Flüssigkeiten,
mit denen sich unsere Untersuchung beschäftigen soll, niuss
bei allen Formänderungen das Volumen eines jeden Theiles
constant bleiben. Betrachten wir aber einen flüssigen Körper,
dessen Bewegung durch einen unbeweglichen festen Körper
(ein Gefäss) begrenzt wird, und auf dessen Theilchen ausser
der Schwere die wechselseitige Anziehung der Theilchen unter
einander und die Anziehung der Gefässtheilchen wirken mögen,
so erfordert die Gleichgewichtsbedingung, dass der Werth von
£2 ein Maximum sei, das heisst, es darf keine unendlich kleine
Verschiebung der Flüssigkeitstheiichen einen positiven Zuwachs
von Q verursachen. Da aber offenbar der Werth von £2 nur
dadurch geändert werden kann, dass sich die Gestalt des
Raumes, den die ganze Flüssigkeit erfüllt, ändert (und nicht
durch eine alleinige Bewegung im Inneren der Flüssigkeit), so
wird Gleichgewicht herrschen, wenn bei keiner unendlich kleinen
Veränderung dieser Gestalt — die verträglich mit der Form
des Gefässes vorausgesetzt werden muss — bei constant bleiben-
dem Volumen ein Zuwachs von eintritt. Es folgt hieraus
sofort, dass, wenn die Gestalt der Flüssigkeit überhaupt keine
Veränderung erfahren kann — (wenn etwa das Gefäss die
Flüssigkeit von allen Seiten dicht anliegend umgiebt) die ge-
nannten, auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte eine innere Be-
wegung der Flüssigkeit nicht verursachen können, dass sie sich
also gegenseitig das Gleichgewicht halten.

5.

Wir gehen jetzt zu einer genaueren Erforschung des Aus-
druckes £1 über, der als Grundlage der Gleichgewichtstheorie
der Flüssigkeiten angesehen werden muss. Beginnen wir mit
dem ersten Term, so sieht man ohne Weiteres, dass \zds das
Product aus dem Volumen des Raumes 6* und der Höhe seines
Schwerpunktes über der Ebene H bedeutet. Ebenso ist cjxds
das Product aus der Masse, gc$zds das Product aus dem Ge-
wicht der Flüssigkeit und derselben Höhe. Wenn nun die

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Carl Friedrich Gauss.

Flüssigkeitstheile anderen Kräften, als der Schwere, nicht unter-
worfen wären, dann mtisste die Höhe des Schwerpunktes in
der Gleichgewichtslage möglichst klein sein. Es folgt hieraus
leicht, dass die freie Oberfläche, respective die freien Ober-
flächen in ein und derselben Horizontalebene liegen müssen,
die dann die Flüssigkeit von oben her begrenzt.

6.

Die Betrachtung des zweiten und dritten Terms ist zurück-
zuführen auf zwei particuläre Fälle des allgemeinen Problems,
in dem die einzelnen Elemente zweier beliebig gegebener Räume
wechselseitig mit einander combinirt und die Producte aus je
drei Factoren, nämlich aus dem Volumen eines Elementes des
ersten Raumes, dem Volumen eines Elementes des zweiten,
und einer gegebenen Function des wechselseitigen Abstandes
zu einer Summe vereinigt werden sollen. Der zweite Term
führt dann zu dem Falle, wo beide Räume mit einander iden-
tisch sind, der dritte Term zu dem, wo der eine Raum ganz
ausserhalb des anderen liegt. Das vollständige Problem umfasst
noch zwei andere Fälle, nämlich die, wo der eine Raum ein
Theil des anderen ist, und wo der eine Raum mit dem anderen
einen Theil gemeinsam hat. Wenn nun auch die zwei ersten
Fälle für unser Vorhaben ausreichen würden, und sich anderer-
seits auch die zwei letzten leicht auf die ersteren zurückführen
lassen, so scheint es doch der Mühe werth, das an sich wichtige
Problem ganz allgemein zu behandeln. Die beiden Räume
wollen wir in dieser allgemeinen Untersuchung mit s, S, die
Function des Abstandes durch das Zeichen rp kennzeichnen.
Wir haben dann bei Anwendung auf den zweiten Term für S
den Raum s, bei Anwendung auf den dritten an Stelle von <p
die Function <2> einzuführen. Es handelt sich also um das
Integral

ffdsdS(p[ds,dS),

das äusserlich die Form eines Doppelintegrals hat. In der
That aber umfasst es, da die Elemente eines jeden Raumes
von drei Variabein abhängen, eine sechsfache Integration, die
wir — wie gleich gezeigt wird — auf eine vierfache zurück-
führen können.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 13

7.

Wir beginnen mit der Behandlung des Integrals ^dscp^Ufds),
das über alle Theile des Raumes s zu erstrecken ist. Es be-
deutet hierin t u < einen bestimmten Punkt, der entweder ausser-
halb oder innerhalb von s gelegen ist. Wir denken uns eine
Kugelfläche mit dem Eadius 1 um den Mittelpunkt fi herum
beschrieben, und in unendlich kleine Elemente zerlegt. Es sei
dll ein solches Flächenelement, und es schneide eine Gerade,
die von f.t aus gegen einen Punkt dieses Elementes geführt
wird, die Oberfläche des Raumes s der Reihe nach in den
Punkten p\ p\ p" u. s. w. Die Anzahl dieser Punkte wird
eine gerade oder ungerade sein, jenachdem fi ausserhalb oder
innerhalb von s liegt. Die Abstände itp', up", f.ip" etc. be-
zeichnen wir mit r', r", r" etc. Es sollen ferner von aus
nach den einzelnen Punkten der Peripherie des Elementes dll
gerade Linien gezogen werden, so dass dadurch ein pyramiden-
förmiger Raum gebildet wird. Durch dessen Mantelfläche
werden aus der Oberfläche des Raumes s an den Orten der
Punkte p\ p \ p" r etc. Flächenelemente herausgeschnitten, die
wir mit dl! , di\ dt'" etc. bezeichnen wollen. Es sei endlich
q der Winkel, den die Gerade p {i mit der äusseren Normalen
auf dem Flächenelement df bildet. Analog seien q\ q'" . . .
die Winkel, die die entsprechenden Normalen bei p, p'" . . .
mit der nach p hin gezogenen Geraden einschliessen. Es wird
somit offenbar

dt' cos q dt" cos g dt'" cos?'"

dll — =t — -4- ^2 — 2= r >,, 2 etc.

Hierin gelten die oberen, resp. unteren Vorzeichen, je nachdem
jtt ausserhalb oder innerhalb s liegt.

Es leuchtet ferner ein, dass das Integral lds(p[i.i / ds) für
diejenigen Theile des Raumes *, die in unserem pyramiden-
förmigen Räume enthalten sind, wiedergegeben werden durch
das Integral

dnf ri<p{r) dr,

das zu erstrecken ist von r = / bis r — r", dann von r = r"
bis r = r"" u. s. f., wenn fi ausserhalb s liegt, oder aber von
r = 0 bis r = /, dann von r = r" bis r = /" u. s. f., wenn
/i innerhalb s liegt. Setzen wir nun das unbestimmte Integral

J r 2 ff (r) dr — — ip (■/•) ,

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u

Carl Friedrich Gaues.

worin die Integratioiisconstante willkürlich angenommen ist, so
erhält das Integral $ds(p(i.i,ds), in soweit es über die in dem
pyramidenförmigen Räume von .<? gelegeneu Theile erstreckt
wird, den Werth

dn{ip{r') — ip(r") + i/>(r"') — etc.)

df COS q'\p(r) dt" COS q"lp {r") dt"' COS q"'ip{r'")
r '2~ r "2 " /"2 "'

u. s. w. ,

vorausgesetzt, dass ausserhalb s liegt; und
dn(xp(0) — xp{r) + if>(r") + ip[r") + etc.)

— aji y^u; -i ^ 2 - -j r - — , ,^ h

u. s. w. ,

wenn (.1 innerhalb des Raumes s liegt.

Erstrecken wir nun diese Summation auf alle Theile der
Kugeloberfläche, so wird das vollständige Integral $ds(f [(.t,ds)

im ersten Falle =/^f^i ,

im zweiten = 4 n y (0) + f^ftM .

Es bezeichnet hier dt unbestimmt alle Elemente der Oberfläche
des Raumes s, und r für diese Elemente das gleiche, was
die mit den Accenten versehenen entsprechenden Buchstaben
für die bestimmten einzelnen Elemente bedeutet haben. End-
lich ist n der halbe Umfang des Einheitskreises.

Man erkennt ausserdem noch leicht, dass, wenn der Punkt
/( weder innerhalb, noch ausserhalb von .<?, sondern in der
Oberfläche selbst liegt, die zweite Formel gilt, nachdem der
Factor 4rr durch 2tt ersetzt ist, vorausgesetzt, dass die Ober-
fläche im Punkte u weder eine Spitze, noch eine scharfe Kante
aufzuweisen hat. Für unseren Zweck aber ist es nicht nöthig,
auf diesen Fall einzugchen.

8.

Durch die Untersuchung des vorhergehenden Abschnittes
wird die Entwicklung des Integrals tfdsdS rp(ds,dS) zurück-
geführt auf

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 15

4:7caip{0) + ff dtdS

cos q xp \dt,dS)

(dt,dS)*

wenn wir mit a das Volumen des Raumes bezeichnen, der bei-
den Räumen S und s gemeinsam ist. Es fällt somit der erste
Term 4tto"(//(0) weg, wenn beide Räume sich gegenseitig aus-
schliessen. Es bleibt noch ein neues Integral übrig, das dem
Anschein nach immer noch zweifach, in der That aber fünf-
fach ist. Um dieses auf ein Vierfaches zurtickzuf ühren , be-
trachten wir das Integral:

das über alle Elemente des Raumes S zu erstrecken ist.

Es bezeichnet hierin wieder it einen festen Punkt und q
den Winkel zwischen zwei von diesem Punkte ausgehenden
Geraden, von denen die eine gegen das Element dS hin ge-
richtet, die andere im Räume fest ist*). Dieses Integral, das
dem Anscheine nach einfach, in Wirklichkeit dreifach ist, wer-
den wir jetzt auf ein zweifaches zurückführen, und zwar auf
zwei ganz verschiedene Arten.

Wir denken uns durch den Punkt /t eine Ebene, die wir
mit JI bezeichnen, senkrecht zu der festen Geraden gelegt,
und theilen diese, soweit sie von der Projection des Raumes
S getroffen wird, in unendlich kleine Flächenelemente dJJ. In
einem Punkte eines solchen Elementes dll errichten wir eine
Senkrechte zu if, die der Reihe nach, d. h. beim Fortschreiten
in einer zu der festen Geraden parallelen Richtung, die Ober-
fläche von S in den Punkten P', P", P'" etc. schneidet. Die
Abstände dieser Punkte von ,u seien R\ R" y R'" etc. Die
in ähnlicher Weise in allen Punkten der Peripherie von dll
senkrecht zu TL errichteten Geraden bilden einen prismatischen
Raum und schneiden aus der Oberfläche von £ Elemente heraus,
die wir mit dT' , dT" , dT'" u. s. w. bezeichnen wollen. End-
lich sei x ^ er Winkel zwischen den zwei von P' ausgehenden
Geraden, von denen die eine auf d T' normal und nach aussen
gerichtet, die andere zu der festen Geraden parallel ist. Die
entsprechenden Winkel für P", P'" etc. seien x", z" etc. Es
wird somit offenbar:

dll = — d T cos /' = + d T" cos / = — d T'" cos etc.

) Diese wird nachher die Normale auf die Oberfläche von s. W.)

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Carl Friedrich Gauss.

Den prismatischen Kaum wollen wir in unendlich kleine
Elemente dlldx zerlegen, wo x den Abstand eines unbe-
stimmten Punktes von der Ebene U bezeichnet (x sei positiv
nach der Richtung hin, nach welcher die feste Gerade weist;.
Wenn wir also den Abstand dieses Punktes von fi mit r be-
zeichnen, so ist

x — r cos q,

und da r 2 — x 2 constant ist, wird xdx -=-rdr oder :

dlldr cos q = dlldr.
Hieraus schliessen wir, dass unser Integral

(u^dS) 2 '

soweit es sich auf die Theile des Raumes S erstreckt, die in
dem prismatischen Raum enthalten sind, durch das Integral

du

drtp(r)

rjdrip

ausgedrückt wird, welches zu erstrecken ist von r = R' bis
r = TT, ferner von r = R'" bis r = R"" u. s. w. Wenn wir
also setzen

= -*(>•)

mit willkürlich angenommenen Integrationsconstanten, dann
wird unser Integral, soweit es sich auf die innerhalb des pris-
matischen Raumes gelegenen Theile von S erstreckt

= dII{${R') — # (R") + #{R"') — etc.)

= — dT' Qosx , ^(R')-drcosf^(R , ')^dr ,, cosx ,,, ^(R'' , ) etc.

Addiren wir nun diese Summen, die für die Prismenräume
aller einzelnen Elemente dTl gelten, so sind offenbar dadurch
alle Oberflächenelemente von S erschöpft, und wir haben das
vollständige Integral

Hierin bedeutet dT unbestimmt jedes Oberflächenelement von
S, R dessen Abstand von ju, und / den Winkel zwischen der
äusseren Normalen auf dem Elemente dT und einer zu der
festen Geraden parallelen Geraden.

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Grandlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 17

Auf diese Weise ist also das Integral

ffdsdScp{ds,dS)

zurückgeführt auf die Form

±7to\p{0) —JfdtdTcosz&(dt f dT) ,

worin / den Winkel bezeichnet, den die zwei Oberflächen-
elemente dt y dT mit einander einschliessen , gemessen durch
die Neigung der beiden nach dem Aussenraume von .? und S
hin auf ihnen errichteten Normalen gegen einander. Die Inte-
grationen sind über die ganzen Oberflächen der beiden Räume
zu erstrecken.

9.

So wie die vorhergehende Methode mit einer Zerlegung des
Raumes S in prismatische Raumelemente verknüpft ist, so er-
fordert die folgende eine Zerlegung dieses Raumes in pyra-
midenförmige Elemente. Wir denken uns eine Kugelfläche
mit 'dem Radius 1 um den Punkt /i als Mittelpunkt gelegt und
in unendlich kleine Flächenelemente zerlegt. Gegen einen
Punkt eines solchen Elementes dll werde eine Gerade von (.i
aus gezogen, die die Oberfläche von S der Reihe nach in
P', P", P'" etc. treffen möge. Die Abstände dieser Punkte
von seien P', P", P'" etc. Die nach allen Punkten der
Peripherie von dll hin gezogenen Geraden schliessen einen
pyramidenförmigen Raum ein und schneiden bei den Punkten
P', P", P'" etc. aus der Oberfläche von S Flächenelemente
heraus, die wir mit dT' y dT", dT'" etc. bezeichnen wollen.
Es sei endlich Q' der Winkel, den die Gerade P'f.i mit der
äusseren Normalen auf dT' einschliesst. Q", Q'" etc. sind die
Winkel zwischen den entsprechenden Normalen in P", P'" etc.
und der Geraden nach jt. Es wird somit:

dT' cos Q' ____d T" cos Q" dT'" cos Q"'
dll — — P 7 ^ 1~ R"^- — — P"' 2

Hier gelten die oberen oder unteren Vorzeichen, je nach-
dem ti ausserhalb oder innerhalb von S liegt. Der Fall, dass
(i auf der Oberfläche des Raumes S selber liegt, ist dem ersten
oder zweiten Falle zuzuschreiben, je nachdem die Gerade f.iP'
ausserhalb von S liegt oder innerhalb.

Es leuchtet ein, dass für alle Theile des Raumes »S, die

Ostwa'd's Klassiker. 135. 2

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18

Carl Friedrich Gauss.

in jenem pyramidenförmigen Gebiete liegen, der Winkel q con-
stant ist. Wir setzen jetzt das unbestimmte Integral

mit willkürlich gewählter Integrationsconstante und es wird
dann ähnlich wie früher in Abschnitt 7 das Integral

/

dS cos q tp(u,dS)

insoweit es über alle in dem pyramidenförmigen Gebiete ge-
legenen Theile zu erstrecken ist, im ersten Falle

= cos q |

dT cos Q'O(R') dT" cos Q"0(R")

i

i?' 2 1 Ii

>"2

dT'" cos f/"0'/?"M x \
+ ■ - 7^ etc.) ,

im zweiten Falle tritt hierzu noch der Term

(III COS q0(0) .

Erstrecken wir jetzt diese Summation über alle Oberflüchen-
elemente der Einheitskugel, so wird das vollständige Integral

dS cos q ty(u f dS)

(u,dSp

I. in dem Falle, wo der Punkt u ausserhalb des Raumes
S liegt

_ r d T cos g cos Q6{B)

Hier bezeichnet dT unbestimmt alle Oberflächenelemente des
Raumes S, und Q, 7? bezüglich dieses Elementes das gleiche,
was früher die gleichen mit Accent versehenen Buchstaben
für die bestimmten einzelnen Elemente dT' etc. besagten.
Ferner bedeutet q die Neigung der vom Punkte u aus nach
dT hin gezogeuen Geraden gegen unsere feste Gerade.

IL In dem Falle, wo u innerhalb des Raumes & liegt,
tritt zu dem Integral additiv noch der Term

(9(0) J dH cos q .
wo q den Winkel zwischen der von u nach dll gezogenen

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 19

Geraden und der festen Geraden bedeutet, und die Integration
hier über die ganze Kugeloberfläche zu erstrecken ist. Man
überzeugt sich aber leicht, dass dieses Integral, erstreckt über
die Halbkugel, innerhalb deren 7 ein spitzer Winkel ist,
= — {— 7t wird, über die andere Halbkugel erstreckt aber
= — 7t . Deshalb verschwindet das über die ganze Kugel
erstreckte Integral, und es gilt also auch in diesem zweiten
Falle ganz die gleiche Formel, die wir für den ersten aufge-
stellt haben. Anders verhält es sich im dritten,

HI. in dem der Punkt 11 auf der Überfläche von S liegt.
Auch hier tritt der Term

hinzu, aber die Integration ist nur über die Theile der Ober-
fläche der Kugel zu erstrecken, für die das Anfangsstück der
von /( nach dTI gezogenen Geraden in den Raum S fällt,
oder (wenn wenigstens die Oberfläche von £ bei fi weder eine
Spitze noch eine Schneide bildet) für welche diese Gerade einen
stumpfen Winkel mit der im Punkte (.1 auf S nach aussen hin
errichteten Normalen bildet. Es bleibt uns also noch übrig,
das sich unter diesen Gesichtspunkten bietende Integral zu
ermitteln. Es mögen diese Normale und die feste Gerade die
Kugeloberfläche resp. in den Punkten G, H schneiden, und
es sei der Bogen GII=k, der Bogen zwischen G und einem
variabeln Punkt der Kugelfläche = r; es sei schliesslich w
der sphärische Winkel zwischen k und v. Auf die Weise wird

und für dll haben wir das Element sin vdrdw zu setzen.
Es wird demnach das Integral

und diese Integrale sind zu erstrecken von tc = 0 bis w — 360°
und von v = 90° bis v — 180°. Unter diesen Umständen
liefert uns die erste Integration

cos q = cos k cos r + sin k sin r cos w ,

d II cos q

(cos k cos v + sin k sin v cos iv) sin vdrdw,

2 7t cos k cos v sin -vdv

2*

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20

Carl Friedrich Gauss.

und die zweite

71 C09 k .

Für unseren Zweck kommt nun dieser dritte Fall nur dann
in Betracht, wenn die Oberflächen der Räume 5 und S ein
gewisses endliches Stück der Oberfläche gemeinsam haben.
Befindet sich der Punkt ,u auf diesem, so wird entweder k = O

oder = 180°, und es wird somit JdlT cos q entweder = — 7t

oder = -f- .r , je nachdem die Räume s, S sich auf der glei-
chen oder auf entgegengesetzten Seiten bezüglich der gemein-
samen Tangentialebene beider Oberflächen befinden.

Wenden wir dieses Resultat auf das Integral an, von dem

wir ausgegangen sind: Jj ds dS <p(ds,dS) , so wird dessen
Werth :

I. wenn die Oberflächen der Räume s, S keinen gemein-
samen Theil haben

P r dt dT cos q cos Q6(dt,dT)

II. wenn die Oberflächen von s und S einen endlichen
Theil = t gemeinsam haben

1 ,/ai . f fdtdT cos qto* Q6{dt,dT)

worin das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem die
Räume s, S auf gleicher oder auf entgegengesetzten Seiten
der gemeinsamen Oberfläche t liegen;

III. wenn die Oberflächen der Räume (s, S) mehrere dis-
crete endliche Theile gemein haben, sei t die Summe derer,
die von den Räumen s, S auf gleicher Seite, t' die Summe
derer, die auf entgegengesetzter berührt werden. Dann wird
unser Integral

= 4:7toifj(Q) + 7r(t'— t)0(O)

CrdtdTcos q cos Q6(dt t dT)

[dt,dT)'

Diese dritte Formel kann als die Zusammenfassung aller mög-
lichen Fälle aufgefasst werden. Das doppelte Integral ist über
alle Elemente beider Oberflächen zu erstrecken. Es bezeichnen
q, Q die Winkel, die die Verbindungslinie von dt und dT mit

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 21

den beiden äusseren Normalen auf diesen Elementen bilden,
und es ist hierbei die Richtung dieser Verbindungslinien für
den Winkel q von dt nach dT, für den Winkel Q von dT
nach dt als positiv zu erachten.

Die zwei in Abschnitt 8 und 9 behandelten Umformungen

Einfachheit, für unseren Zweck ist aber die zweite ge-
eigneter. Koch weiter kann das allgemeine Problem nicht
reducirt werden, wenn wir nicht specielle Annahmen bezüglich
der Räume s, S oder bezüglich der Function (p zu Grunde
legen. Die Function ff leitet sich aus der Function f ab,
und wir wollen bezüglich dieser unsere weitere Behandlung
auf der gleichen Hypothese aufbauen, von der Laplacc aus-
gegangen ist, dass nämlich die anziehenden Molecularkräfte
erst in unmessbar kleinen Abständen messbare Werthe an-
nehmen. Da dieser Ausdruck etwas Unbestimmtes hat, so
lange wir nicht eine Einheit zu Grunde legen, wollen wir vor
allem darauf aufmerksam machen, dass wir die anziehende
Kraft /"(r), ausgedrückt als eine Function des Abstandes r,
mit einer Masse multiplicirt denken müssen, damit sie mit der
Gravitation g in deu Dimensionen übereinstimmt. Der Sinn
unserer Voraussetzung ist dann der folgende: Bezeichnet M
irgend eine Masse, derart, wie sie uns in Experimenten vor-
kommt, nämlich eine, die im Vergleich mit der ganzen Erde
als verschwindend angesehen werden kann, dann muss Mf(r)
immer unmerklich sein im Vergleich mit der Schwere, so lange
r einen unseren Messungen zugänglichen, wenn auch noch so
kleinen Werth hat. Gleichwohl hindert nichts, dass der Werth
von Mf{r) in unmessbar kleinen Abständen nicht nur merk-
bare Grössen annehmen, sondern beim Abnehmen von r sogar
alle Grenzen übersteigen kann. Es ist überraschend, wie wich-
tige Thatsachen mathematisch speciellen Charakters sich aus
dieser einen Hypothese ableiten lassen, auch wenn wir im
Uebrigen das Gesetz der Function f[r) als unbekannt ansehen :
Und wenn auch diese Thatsache unter solchen Umständen eine
absolute mathematische Genauigkeit nicht beanspruchen kann,
so ist doch diese Genauigkeit sicher so gross, dass durch kein
Experiment irgend eine Abweichung von der absoluten Wahrheit

10.

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22

Carl Friedrich Gauss.

gefunden werden kann; denn sobald es gelänge, eine solche
Abweichung einer Messung zu unterwerfen, dann würde die
H)T)othese selbst fallen müssen.

11.

Es wird die Annahme erlaubt sein, dass die Function f(r)
[und ebenso auch F(r)] eine Anziehung bedeutet, in der der
Theil fehlt, der mit r 2 umgekehrt proportional ist und der
zur Erklärung der astronomi sehen Erscheinungen dient; denn,
dieser Theil vermag an jedem Orte nur eine unmerklich
kleine Beeinflussung der Schwere zu verursachen, wie be-
schaffen auch die Form der Flüssigkeit und des Gefässes ist.
Wenn also r von einem messbaren Werthe an ins Unendliche
wächst, so wird fir) nicht nur an sich unendlich klein, son-
dern es wird sogar schneller abnehmen als ~. Hieraus folgt

leicht, dass auch das Integral j*f(r)dr, von einem messbaren

"Werthe bis ins Unendliche erstreckt, unmessbar klein ist. Wir
denken uns daher die Integrationsconstante von:

f(r)dr = —ff(r)

so festgesetzt, dass sich ergiebt:

f p (oo) = 0

oder so, dass qtir) den Werth des Integrals j* f[x)dx be-

deutet. Nach dieser Festsetzung bedeutet (p(r) für jeden Ab-
stand r eine positive Grösse, die aber unendlich klein ist,
so lange r messbar ist ; dagegen kann <p (r) für einen unmess-
bar kleinen Werth von r nicht nur endlich sein, sondern so-
gar bei stetig abnehmendem /• alle Grenzen übersteigen. Mit
anderen Worten, es steht nichts im Wege, dass (p[0) — oo
wird.

12.

Da ako die Function (p (r) für jeden messbaren Werth von
r unmesstar klein ist und mit wachsendem r stetig abnimmt,

so folgt sogleich, dass das Integral J* r~(p{r)dr von irgend

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 23

einem messbaren Werthe bis zu einem anderen grösseren er-
streckt auch jetzt noch unmessbar bleibt, wenn nur dieser
zweite Werth in den Grenzen des dem Experiment Zugäng-
lichen liegt: man darf aber aus dieser einen Eigenschaft kei-
neswegs schliessen, dass das Integral unmessbar bleibt, wenn
wir die Integration bis zu einem beliebig grossen Werthe von
r erstrecken. Die Rechnungen von Lupine* sind so dargestellt,
dass sie eine solche Hypothese einschliessen ; aber da die Natur
der Function tp[r) uns unbekannt ist, scheint es vorsichtiger,
von allen Hypothesen abzusehen, deren wir nicht unbedingt
bedürfen. Da nun die* Integrationsconstante von

/ r*tf[r)dr = — <//(/•)

willkürlich ist, so genügt es, sie so gewählt zu denken, dass
ip V) = 0 wird für irgend einen willkürlichen messbaren Werth
von /*, der nur in dem Gebiete der Körper gelegen ist, die
wir in unser Experiment einbegreifen können. Unter dieser
Voraussetzung wird \p(r) für jeden ähnlichen Werth immer un-
messbar klein sein (positiv für einen kleineren, negativ für einen
grösseren Werth) u aber es steht hier nichts im Wege, dass
\p(r) für einen unmessbar kleinen Werth von /• messbare Gren-
zen erreicht. Es muss noch hinzugefügt werden, dass die Er-
klärung der Erscheinungen die Annahme erfordert, dass bei
einem ins Unendliche abnehmenden /■ der Werth von ip(r)
immer endlich bleibt, dass also \p(0) eine endliche Grösse ist.

Es ist im Uebrigen offenbar ' ' von gleicher Dimension

/•

wie 7, also eine Länge und ' '''"^ eine durch die

y y

Natur der Körper, auf deren anziehende Kräfte sich f[r) be-
zieht, bestimmte Länge, deren Grösse wir zwar als* sehr be-
trächtlich vermuthen können, die wir aber in bestimmten Fällen
kaum angenähert anzugeben vermögen, wenigstens nicht ohne
Zuhilfenahme von irgend weichten Hypothesen*).

* Wenn man die Lichterscheinungen nach der Emanations-
theorie erklärt, hängt die Brechung ab von der molecularen An-
ziehung der Theilchen des durchsichtigen Körpers auf die Licht-
theilchen. und das Brechungsverhältniss von dem Werthe i^(0), und
zwar in der Art, dass

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24

Carl Friedrich Gauss.

/

13.

Wir haben weiter in ähnlicher Weise bei der Integration

ifj(r)dr = — 0[r) die Constante so gewählt zu denken, dass

B[r) = 0 wird für einen willkürlich zu wählenden Werth von
r, innerhalb der Grenzen gelegen, die uns für unser Experi-
ment zugänglich sind. Es wird so wieder 0(r) unmessbar klein
für jeden derartigen messbaren Werth von r, kann aber trotz-
dem messbar werden für ein unmessbar kleines r. Offenbar

erhält ^ ^ die Dimensionen einer Fläche, und es wird

9 ' VM

eine Länge. Noth wendiger Weise aber wird ^~^\ eme un ~

messbar kleine Länge, was wir folgendermassen beweisen. Da
ip (r) von r = 0 an continuirlich abnimmt, und zwar so schnell,
dass es schon unmessbar klein geworden ist, wenn r einen
messbaren Werth erreicht hat, so folgt, dass der Werth von r,
für den \p\r) = ^^(0) wird, noch unmessbar klein ist. Wir
wollen ihn q nennen. Wir betrachten das Integral

n

W(0)-V(r)]rfr,

o

/i

das = liip(0, — 0(0) + 0{R) wird. Offenbar muss dieses In-
tegral grösser sein, als wenn wir es blos von r = q bis r = R
integriren, und dieses wieder grösser, als das Integral

f [ip[ o ; -ip(g'.}d;

in denselben Grenzen integrirt. Da nun dieses letztere In-
tegral den Werth erhält:

- [0(0) - ipiQ)] (R - Q) = { ip(0) [R - Q ) ,

ist. Es ist hierin / die Länge des Secundenpondels, /• der vom
Lichte im Vacuum in der Secande zurückgelegte Weg, n das Ver-
hältniss der Sinus des Einfallswinkels und des Brechungswinkels.

Unter dieser Annahme wird für Wasser zweitausendmal

9

grösser als die mittlere Entfernung der Sonne von der Erde.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 25

so wird allgemein für jeden Werth R (grösser als g)
Jty(O) — 6(0) + 0(R) > 1 </>(0) (Ii — g) .

Oft)

Setzen wir jetzt für R den Werth des Bruches — — ^ , so wird

aus dieser Relation:

0(R)>iV(0){*-Q),
eine Beziehung, die widersinnig sein würde, wenn R eine
messbare Grösse wäre.

Während also ip(0) eine sehr bedeutende Grösse ist, so
kann gleichwohl 0(0) von mässiger Grösse und mit den Di-
mensionen der bei unserem Experiment vorhandenen Körper
wohl vergleichbar sein.

14.

Es bleibt uns noch zu untersuchen, was aus dieser Eigen-
schaft der Function 0 für das Integral

/ dt d T cos g cos Q0(dt,äT)

folgt. Wir machen den Anfang mit einer einfacheren Unter-
suchung, indem wir einen auf der einen Oberfläche festliegen-
den Punkt /i betrachten und das über die ganze Oberfläche /
zu erstreckende Integral

/dt cos q cos Q 0 (u, dt)
]u7dtj>~ • (Uj

untersuchen. Es bezeichnet hierin Q den Winkel zwischen
zwei von u ausgehenden Geraden, von denen die eine gegen
das Element dt gerichtet, die andere im Räume fest ist; q den
Winkel zwischen den zwei von dt ausgehenden Geraden, deren
eine nach u hin gerichtet ist, die andere auf dt nach aussen
hin senkrecht steht.

Zunächst bemerken wir, dass, wenn der Punkt f.i in mess-
barem Abstand von der Oberfläche t entfernt liegt, alle Wcrthe
0{u f dt) unmessbar klein werden. In diesem Falle wird also
das ganze Integral (II) unmessbar klein. Es erlangt also dieses
Integral nur dann einen messbaren Werth, wenn die Ober-
fläche t Theile besitzt, die in unmessbar kleinem Abstand vom
Punkte fi liegen, und es genügt dann offenbar, das Integral (II)

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26

Carl Friedrich Gauss.

nur über diese Theile zu erstrecken. Alle in messbarem Ab-
stand gelegenen Theile können wir vernachlässigen.

et t OOS

Wir setzen jetzt für ™ den Werth zb dl! ein, so

dass dl! das Oberflächenelement der um fi beschriebenen Ein-
heitskugel bedeutet, auf welches das Element dt vom Punkt f.i
aus gesehen projicirt wird. Es gilt das obere oder untere
Vorzeichen, je nachdem dt seine äussere oder innere Seite
dem Punkte u zukehrt. Es wird somit das Integral (II)

= f ztdn cos Q Ofa, dt),

und es ergiebt sich, dass dieses Integral nur dann einen mess-
baren Werth annehmen kann, wenn diejenigen Elemente d/T,
die zu unmessbar kleinen Abständen {(.i,dt) gehören, einen
messbar grossen Raum auf der Kugelobertiäche erfüllen.

Hieraus kann man leicht folgern, dass unser Integral, all-
gemein gesagt, auch dann noch unmessbar klein bleibt, wenn
der Punkt p auf der Oberfläche t selber liegt. Denn es er-
giebt sich, dass die Projectionen aller der Elemente dt, die
von f.i unmessbar kleinen Abstand haben, auch von dem grössten
Kreis, den die Tangentialebene an t im Punkte u aus der Kugel-
fläche herausschneidet, unmessbar kleinen Abstand haben. Es
müssen aber drei Fälle ausgenommen werden, nämlich

1. der Fall, wo die Krümmungsradien der Fläche t im
Punkte unmessbar klein sind;

2. der Fall, dass die Continuität der Krümmung von t im
Punkte u oder in unmessbar kleinem Abstand von ihm eine
Unterbrechung erfährt (vgl. Disquis. gen. circu superficies cur-
vas art. 3}*);

3. der Fall, wo die Oberfläche t noch einen anderen von
jti unmessbar wenig entfernten Theil enthält, also wenn bei
diesem Punkte die Dicke des Raumes .$ unmessbar klein ist.
Diesen Fall können wir übrigens dem unterordnen, den wir
im folgenden Artikel behandeln werden.

*) Klassiker d. e. W. Nr. 5.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 27

15.

Es bleibt uns noch der Fall, wo der Punkt fi nicht selbst
auf der Oberfläche t liegt, aber doch in unmessbar kleinem
Abstand von ihr. In diesem Falle kann jedenfalls unser In-
tegral einen messbaren Werth haben, und diesen wollen wir
jetzt eingehender untersuchen.

Es mögen die vom Punkte auf die Fläche t gefällte
Normale und die von f.i ausgehende im Räume feste Gerade
die Kugeloberfläche in den Punkten G und H schneiden, und
es werde der Bogen GH = k gesetzt. Der Bogen zwischen
G und einem variabeln Punkte der Kugelfläche sei v. Es sei
endlich w der sphärische Winkel zwischen und v. Es darf
nach diesen Festsetzungen für das Element dlT gesetzt werden:

Die Integration braucht hierin nur über die Theile der Kugel-
oberfläche erstreckt zu werden, gegen die die unmessbar kleinen
Abstände r gerichtet sind. Es beziehen sich diese auf einen
unmessbar kleinen Theil der Oberfläche t. Sehen wir diesen
Theil als eben an und bezeichnen wir den kleinsten Abstand
desselben von u (den Abstand, der dem Punkte G, also dem

■w unabhängig. Führen wir also die Integration bezüglich der
Variabein w durch, und zwar von w = 0 bis w = 360 °, so
wird unser Integral

Hierin ist die Integration zu erstrecken von r = Q bis zu
einem willkürlichen messbar grossen, sonst aber beliebig klei-
nen Werth von r.

sin vdvdw ,

und demnach wird, wenn wir statt [u,dt) der Kürze halber r
schreiben, das Integral (II)

±: (cos k cos v + sin k sin v cos w) 0(r) sin v d vdiv.

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28

Carl Friedrich Gauss.

Setzen wir also das unbestimmte Integral

und bestimmen wir die Integrationsconstante so, dass

wird für einen beliebigen messbaren Werth innerhalb der dem
Experiment zugänglichen Grenzen, dann wird das Integral (II
unter Vernachlässigung von unmessbar kleinen Grössen

Sollte es zweifelhaft sein, ob es erlaubt ist, den Antheil
der Oberfläche t, der innerhalb unmessbarer Enfernung von u
gelegen ist, als Ebene anzusehen, so denken wir ihn uns als
Kugelfläche. Es sei dann R der Abstand des Kugelmittel-
punktes vom Punkte «, positiv oder negativ zu setzen, je
nachdem der Mittelpunkt von u aus in Richtung nach G hin
gelegen ist oder entgegengesetzt. Es wird dann

und hieraus kann man leicht entnehmen, dass das Integral nicht
um einen merklichen Betrag von dem früher gefundenen Werth
dz 7t cosk6'[g) abweicht, so lange wenigstens R einen messbar
grossen Werth besitzt. Wie beschaffen nun aber auch die
Krümmung der Oberfläche t an der in Betracht kommenden
Stelle ist, es lassen sich immer zwei Kugelflächen finden, die
die Oberfläche t in dem am nächsten gelegenen Punkte be-
rühren, so dass / zwischen diesen beiden gelegen ist, und deren
Radien endliche Grössen haben. Dann muss offenbar auch
unser Integral zwischen die auf diese beiden Kugelflächen be-
zogenen Integrale fallen, und es wird ohne merklichen Fehler
durch eben dieselbe Formel ausgedrückt. Eine Ausnahme tritt
nur dann ein, wenn die Oberfläche t in unmessbar kleinem
Abstand von eine Krümmung von unmessbar kleinem Krüm-
mungsradius oder eine Schneide oder eine Spitze besitzt.

= dt 7t cos kO'(r) .

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 29

Gehen wir jetzt vom Integral (II) zum Integral (I) über,
so ist es klar, dass dieses nicht nur in dem Falle unmessbar
klein wird, wenn (II) für keinen Punkt der Oberfläche T einen
messbaren Wertb erhält, sondern auch dann, wenn die Ge-
sammtheit der Elemente von T, für deren Punkte das In-
tegral (II) endlich wird, nur eine Fläche von unmessbar kleiner
Grösse ausmacht. Aus dieser Erwägung geht hervor, dass das
Integral (I) nur dann einen messbar grossen Werth erreicht,
wenn die Oberfläche T einen oder mehrere Theile von end-
licher Grösse enthält, die von der Oberfläche t in unmessbar
kleinem Abstand liegen. Da diese Theile von der Parallelität
mit der Oberfläche t nicht merklich abweichen können, so kann
für keinen dieser Punkte cos k merklich von -|- 1 oder von
— 1 abweichen, je nachdem die Oberfläche T ihre äussere
oder innere Seite der Oberfläche t zukehrt.

Bezeichnen wir nun mit r, x die Theile von T 7 , die in
unmessbarem Abstand von t liegen, und zwar mit x die Summe
aller derer, bei denen die äussere Seite der einen der inneren
Seite der anderen zugekehrt ist, mit x die, bei der gleich-
artige Seiten einander zugekehrt sind; bezeichnen wir ferner
mit q den kleinsten Abstand eines jeden Elementes dx oder
äx von t y dann wird das Integral (I) unter Vernachlässigung
unmessbar kleiner Grössen

Es ist offenbar hier kein Unterschied, ob wir die Antheile
x, x' auf die Oberfläche T oder t beziehen*.

Auf diese Weise haben wir also bereits eine Lösung des
Problems erhalten, das wir uns im Abschnitt 6 gestellt haben,
und zwar auf Grund der Eigenschaft der Function f/>, auf die
sich unsere Untersuchung über das Gleichgewicht von Flüssig-
keiten stützt. Es ergiebt sich danach:

16.

= 4rrai//(0) — ?r 1 0(0) + 7tt'0{0) — tz I dxd'{q)

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30 Carl Friedrich Gauss.

17.

Die Function 6' lässt sich definiren durch

r 2 J a; 3

wobei das Integral zwischen den Grenzen x = r und einem
willkürlich festzusetzenden constanten messbaren Werthe zu
erstrecken ist, den wir hier mit R bezeichnen wollen. Offen-

p2 0(r)dx

bar wird dieses Integral kleiner sein als / , zwischen

J x A

0(r) ß(r)

denselben Grenzen integrirt , und dieses ist = .

r 2 i?2

0(r)

Es wird also erst recht kleiner sein als — . Da sich nun

r 2

bei unbestimmter Integration ergiebt:

/2 0[x)dx _ 0{x) n dO(x) 6{x) p xp {x) dx

so folgt:

0'(r) 0(r) 0(R) r \p{x)dx
r 2 ~ ~V 2 R 2 J x 2 '

und das hierin enthaltene Integral ist wieder kleiner als

/ip[r)dx tp(r)
und um so mehr kleiner als : deshalb wird der
x 2 r '

6'{r)

Werth von — — grösser als
r 2

r* Ri r
Es fällt also 0'(r) zwischen die Grenzen

0[r) und fl( r )_r»^_r^{r),

deren Differenz mit unendlich abnehmendem r jedenfalls klei-
ner werden kann als eine beliebig anzugebende Grösse, weil
wir voraussetzen, dass i//(0) eine endliche Grösse ist. Hieraus

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 31

entnehmen wir, dass 0'(0) = 0 (0) zu setzen ist. Es geht daraus
hervor, dass wir in der Gleichung, zu der wir im vorigen
Abschnitt gelangt sind, den Term — ?rt0(O) in dem Term

— 7t JcItO'{q), und den Term /rt'0(O) in dem Term 7t f iv'd'fa)

enthalten denken können, weun wir den Abstand 0 als Spe-
cialfall des unmessbar kleinen Abstandes ansehen , und wenn
wir die Theile t, t' mit unter die Theile r, t rechnen.

Aber wenn wir auch hierdurch eine im mathematischen
Sinne elegantere Lösung erhalten, so ist es doch für unsere
Absicht zweckdienlicher, den Unterschied zwischen den beiden
Arten von Flächentheilen aufrecht zu erhalten.

18.

Wenden wir die vorliegende Untersuchung auf den zweiten
Term des Ausdrucks il (Abschnitt 3) an, so wird der zweite
Raum, den wir von Abschnitt 6 an mit S bezeichnet haben,
identisch mit dem ersten; was in Abschnitt 16 also o", t, t'
war, das wird jetzt .<?, t, 0, wenn t die ganze Oberfläche des
von Flüssigkeit erfüllten Raumes s bedeutet. In dem Falle
aber, wo dieser Raum weder Theile von zwar messbarer Aus-
dehnung, aber unmessbar kleiner Dicke enthält, noch auch
Zwischenräume (Spalten) von gleicher Beschaffenheit, wird das
zweite Glied von £2

= i7td[±sip{o) — td{0)].

Es giebt hiervon zwei Ausnahmen.

1. Wenn der Raum s einen unmessbar dünnen Theil ent-
hält, dann besitzt dieser Theil zwei bis auf unmessbare Grössen
gleiche Oberflächen, deren jede wir mit t' bezeichnen wollen.
Die Dicke des Raumes an der Stelle jeden Elementes dt' be-
zeichnen wir unbestimmt mit q. Es tritt dann zu vorigem
Werthe noch das Glied hinzu

7t C* f 0'{Q)dt' .

2. Wenn der Raum .<? eine unmerklich schmale Höhlung
enthält, dann tritt ein ähulicher Term hinzu, nämlich

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32

Carl Friedrich Gauss.

wenn wir mit t" jede der beiden benachbarten Flächen des
Spaltes bezeichnen nnd wieder mit q die laufende Dicke des
Spaltes.

Bei der Umformung des dritten Gliedes im Ausdrucke £2
müssen wir das Zeichen S beibehalten, um damit den vom
Gefässe erfüllten Raum zu bezeichnen. An Stelle des Functions-
zeichens f tritt F für die anziehende Molecularkraft des Ge-
fässes ein, und an Stelle der durch (/>, *//, 0, 0' ausgedrückten
Functionen treten andere, die wir mit <Z>, *F, 0, & wieder-
geben wollen. Diese sollen von F ebenso abhängen, wie jene
von f. Was bei der allgemeinen Untersuchung <x, t' war,
nimmt hier offenbar den Werth 0 an. Für t führen wir hier
den Buchstaben T ein, der nicht die ganze Oberfläche 5, son-
dern nur den Theii bezeichnen soll, an den die Flüssigkeit
angrenzt. Es wird unter dieser Festsetzung der dritte Theil
von Q im allgemeinen

= 7ccCTG(0) ,

und auch hier treten zwei Ausnahmefälle ein, nämlich

3. Wenn in der Nähe eines messbaren Gebietes T' der
Oberfläche T die Flüssigkeit eioe unmessbar kleine Dicke hat,
die mit q bezeichnet werde, so kommt der Term

♦

— Ttccf &(<>)dT'

hinzu.

4. Wenn die Oberfläche des Gefasses ausser dem Theile
T, der der Flüssigkeit anliegt, noch einen anderen Theil T"
besitzt, der zwar die Flüssigkeit nicht berührt, aber ihr doch
in unmessbar kleinem Abstand benachbart ist, so tritt ein
Term hinzu

+ 7tccfG , [Q)dT'\

worin wieder q den Abstand des dünnen Zwischenraumes
bedeutet.

Es wäre überflüssig, länger bei dem ersten Ausnahmefalle,
soweit er nicht im dritten mit einbegriffen ist, und ebenso
beim zweiten und vierten zu verweilen j denn wenn auch in
gewissen hierunter fallenden Fällen — die aber sehr specieller
Natur sind — Gleichgewicht der Flüssigkeit statthaben kann,
so ist doch ein solches Gleichgewicht weder stabil noch auch
dem Experiment zugänglich.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 33

Dagegen ist der erste Ausnahmefall, soweit er im dritten
enthalten ist, für die Theorie durchaus wesentlich. Gleichwohl
soll er aber einstweilen bei Seite gelassen werden, um zunächst
einmal die Gleichgewichtsbedingungen, wie sie ohne eine dem
Gefässe anhaftende Flüssigkeitshaut gelten, zu untersuchen.

Wir sehen also vorerst von allen Ausnahmen ab. Es wird
dann der Ausdruck, dessen Werth im Zustand des Gleichge-
wichts ein Maximum sein muss, gegeben sein durch

— gc jxds + 2rtc*8<p{0) — {.7tc*tfß(0) + 7rc(7T0(O),

und da bei allen Veränderungen, die die Gestalt der Flüssig-
keit eingehen kann, der Raum s unveränderlich bleibt, so
muss der Ausdruck:

/

7ic0{0) icCO'O)
xds + ----- t — — T

im Gleichgewichtszustand ein Minimum werden.

c0(O)

Wir haben bereits früher angegeben, dass — einen Raum

zweier Dimensionen bedeute, und dasselbe gilt von
Setzen wir also:

TT* 0(0) „ TT (70(0)

= « 2 ; — « — = ß 2 ,

(70(0)

2g 2g

so werden er, ß constante Längen, abhängig von dem Ver-
hältniss der Schwere zu der Grösse der Kräfte, die die Theil-
chen der Flüssigkeit unter sich und von den Molekülen des
Gefässes erfahren. Wenn wir ferner die freie Oberfläche der
Flüssigkeit, also die, die dem Gefässe nicht anliegt, mit U
bezeichnen, so dass t — T+U wird, dann muss der folgende
Ausdruck, den wir W nennen wollen, im Zustand des Gleich-
gewichts ein Minimum sein:

TF = jxds + [«2 — 2 ßi) T + «2 r .

19.

Bevor wir allgemein und vollständig untersuchen, was sich
aus diesem wichtigen Theorem folgern lässt, lohnt es sich

Oätwald's Klassiker. 13:,. 3

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34

Carl Friedrich Gauss.

wohl zu zeigen, mit welcher Leichtigkeit das Grundphänomen
in Capillarröhren sich daraus ergiebt.

Wir denken uns eine Flüssigkeit im Gleichgewicht in einem
zweischenkligen Gefässe, und zwar so, dass ein Theil der freien
Fltissigkeitsoberfläche sich im einen, ein anderer Theil im an-
deren Schenkel befindet. Die Gefässwandungen setzen wir in
der Nachbarschaft dieser Oberfläch entheile als vertical voraus.
Es sei a der Flächeninhalt des inneren llorizontalschnittes des
ersten Schenkels (genauer gesagt, der Flächeninhalt der hori-
zontalen Projection der freien Oberfläche im ersten Schenkel),
b die Peripherie desselben. Es sei ferner ah das Flüssig-
keitsvolumen in diesem Schenkel, unter der Voraussetzung,
dass man die Verticalwandung bis zu der Ebene, von der aus
% gerechnet wird, abwärts verlängert denkt, oder, was aufs
Gleiche hinauskommt, es sei // eine mittlere Höhe der Flüssig-
keit über dieser Ebene. Ebenso sollen im zweiten Schenkel
die entsprechenden Stücke mit a\ //, h' bezeichnet werden.
Stellen wir uns jetzt vor, dass die Einstellung der Flüssigkeit
eine unendlich kleine Veränderung erfährt, und zwar derart,
dass beide Theile der freien Oberfläche ihre Form beibehalten,
dann wird die Variation des ersten Theiles von IF, also des

Integrals Jxda offenbar

= ahdh -\- a'h'dli,

die Variation von T aber

= bäh + h'dti.

Nach Voraussetzung wird aber dU = 0 . Also folgt:

d W = a h dh + a h' dh' — (2 /* 2 _ a 2j (b dh + b' dh') .

Da nun ferner das Gesammtvolumen der Flüssigkeit unver-
ändert bleibt, so folgt;

adh -f- ddh' = 0

und deshalb:

d W = dh lh — h') — (2 — «2) |/, a * |j .

i

Die Bedingung, dass W im Zustand des Gleichgewichts ein
Minimum sein soll, führt also zu der Gleichung, die die Haupt-
erscheinungen der Capillarröhren umfasst:

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Grandlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 35

Und es ergiebt sich sofort, dass dieser Gleichung in der That
ein Minimum von W entspricht, denn es wird

d 2 W a 2

a + ' ' >

dh 2 ' al

also wesentlich positiv.

Der zweite Schenkel wird weiter als der erste ge-

ci' cl
nannt, wenn der Quotient — grösser als — ist. Es wird also

o b

die Flüssigkeit im engeren Schenkel starker herabgedrückt

oder stärker gehoben als im weiteren, je nachdem ß 2 kleiner

v' 1

oder grösser als a 2 ist; und wenn zufallig einmal ß' 2 = —

wäre, dann würden die Höhen in beiden Schenkeln gleich sein.

b f h

Wenn der zweite Schenkel so weit ist, dass — t gegen —

a a

vernachlässigt werden kann, dann wird angenähert

h - h' = (2 ß 2 — a 2 ) ~ •

Es ist demnach in cylindrischen Capillaren die Senkung
oder Hebung einer Flüssigkeit dem Durchmesser des Rohres
umgekehrt proportional. Alles dies stimmt sowohl mit dem
Experiment als auch mit den Ergebnissen, die Laplace theo-
retisch abgeleitet hat, überein.

Wenn das Gefass mit mehreren Verticalschenkeln, die alle
mit einander communiciren , versehen ist, und es bedeuten

b", h" für den dritten, d", b'", h"' für den vierten Schen-
kel u. s. f. das Gleiche wie a, b, h für den ersten, dann er-
giebt sich auch:

Eleganter schreibt sich das in folgender Gestalt:

3*

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36

Carl Friedrich Gauss.

h — (2 ß 2 _ a 2) A = // — (2 ß 2 _ a 2ji

b" V"
= _ ( 2 /3 2 _ tt 2j _ = //" _ (2 ^2 _ ö 2 ] _ etc .

Da die Horizontalebene, von der aus die Höhen gerechnet
werden, willkürlich ist, so ergiebt sich, wenn man sie so
wählt, dass

h = [2ß 2 -« 2 )^,
dass auch in den übrigen Schenkeln

h' = (2 ^ - «*} £ , Ä- = (2 ^ - «») ^ ,

Ii" = (2 ^ - «2) , etc .

Diese Ebene, die wir späterhin noch allgemeiner definiren
werden, kann man die »normale Horizontalebene« nennen (plan
de niveau). Denken wir uns (wenn es nöthig ist) die Vertical-
wände der einzelnen Schenkel bis zu dieser Ebene verlängert,
so bedeuten ah, a'h', a"h" etc., wenn 2 ß 2 > a 2 , die Mengen
der in den einzelnen Schenkeln über diese Ebene gehobenen
Flüssigkeit, oder wenn 2 ß 2 < a 2 , die unter dieser Ebene feh-
lenden Flüssigkeitsmengen. Diese Mengen sind also gleich
dem Product aus der constanten Flächengrösse (2 ß 2 — u 2 )
und den Peripherien />, //', b'" etc.

20.

Es liegt uns jetzt die Aufgabe ob, aus dem Theorem im
Abschnitt 18 die Beschaffenheit der Gleichgewichtsfigur zu be-
stimmen, eine Aufgabe, die in der Hauptsache auf die allge-
meine Entwicklung der Variation hinauskommt, die der Aus-
druck W erfährt, wenn die Form des von Flüssigkeit erfüllten
Raumes irgend eine unendlich kleine Aenderung eingeht. Da
aber die Variationsrechnung für doppelte Integrale in dem Falle,
wo auch die Grenzen als variabel anzusehen sind, bisher noch
wenig ausgebaut ist, so ist es nöthig, diese Untersuchung etwas
tiefer anzugreifen.

Wir wollen von der Oberfläche, die den Raum s vom übrigen
Räume trennt, den Theil U betrachten, und setzen voraus,

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 37

dass jeder seiner Punkte durch drei Coordinaten ?/, % be-
stimmt sei. Die dritte von diesen sei der Abstand von einer
willkürlichen Horizontalebene. Man kann deshalb % als Func-
tion der unabhängigen Variabein x ) y ansehen, und wir be-
zeichnen die partiellen Differentiale dieser Function, wie ge-
bräuchlich, mit

ö % _ d~ _
— ax: - du .
bx ' ö?/ J

In jedem Punkte der Oberfläche denken wir uns die Normale
errichtet, und zwar vom Baume s aus gerechnet, nach aussen
hin. Die Cosinus der Winkel zwischen der Normalen und den
Coordinatenaxen nennen wir if, r n C. Es wird danach

£2 + r ,2 + p = 1 ,

~~ ~ ~; "

Die Umgrenzung der Oberfläche U ist eine in sich zurück-
laufende Linie, die wir mit P bezeichnen wollen, und indem
wir diese in einem bestimmten Sinn stetig umlaufen, nehmen
wir ihre Elemente dP (ebenso wie die Elemente dU der Ober-
fläche) immer positiv an. Die Cosinus der Winkel, die die
Richtung des Elementes dP mit den Coordinatenaxen ?/, %
einschliessen, bezeichnen wir mit X, TT, Z. Damit aber der
Sinn der Richtung nicht zweideutig bleibt, verfügen wir so
über sie, dass an erster Stelle sie selbst, an zweiter die auf
dP senkrechte Normale, die die Oberfläche U berührt und
nach innen gerichtet ist, und an dritter Stelle die auf der
Oberfläche vom Räume s aus nach aussen errichtete Normale
ein System von Geraden bilden, die der Reihe nach ebenso
auf einander folgen, wie die Coordinatenaxen x, ?/, %. Man
sieht leicht (vgl. Disquiss. gen. circa superficies curvas art. 2) *),
dass die Richtungscosinus zwischen der an zweiter Stelle auf-
geführten Richtung und den Coordinatenaxen x, y y % sind

V>Z-C°r, $>Y—i?X,

wenn |°, c° die Werthe von §, r n C am Orte des Ele-
mentes dP bedeuten.

*) Klassiker d. e. W. Nr. 5.

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38

Carl Friedrich Gauss.

21.

Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir uns vorstellen,
die Oberfläche U erfahre irgend eine unendlich kleine Ver-
änderung. Wenn es gentigte, nur solche Veränderungen zu
betrachten, bei denen die Umgrenzung P immer ungeändert
oder wenigstens in der gleichen verticalen Oberfläche bleibt,
dann brauchte man blos die Aenderung der einen dritten Co-
ordinate z einzuführen. Es würde dann das Problem sich
wesentlich einfacher darstellen. Da wir aber das Problem
ganz allgemein behandeln müssen, so würde bei einem solchen
Vorgehen die Betrachtung der Veränderlichkeit der Grenzen
zu unbequemen, die Uebersicht störenden Weitschweifigkeiten
führen. Es ist deshalb vorzuziehen, von vorn herein alle drei
Coordinaten der Veränderung zu unterwerfen. Wir stellen uns
daher vor, dass wir einen jeden Punkt ?/, % der Oberfläche
in einen anderen mit den Coordinaten x-\- öx ) y + dy, s + <H
überführen. Es können dann öx, dy, dz als unbestimmte
Functionen von x und y angesehen werden, deren Werthe aber
unendlich klein bleiben. Wir fragen nun nach den Variationen
der einzelnen Elemente von W und beginnen mit der Variation
des Elementes dU.

Wir stellen uns ein dreieckiges Oberflächenelement d U der
Oberfläche U, gelegen zwischen den Punkten mit den Coordi-
naten

Der doppelte Flächeninhalt dieses Dreiecks ist nach bekannten
Gesetzen

wenn wir voraussetzen — was gestattet ist — , dass dxd'y — dyd'x
eine positive Grösse ist.

In der variirten Oberfläche haben wir statt dieser Punkte
drei andere mit den Coordinaten

x -f- dx , y + dy }

x-\-d'x, y + d'y y

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 39

des ersten Punktes:

x -\- öx , y + öy , z + d £ .

des zweiten:

x + dx + dx + ^£dx + *Y^ d V >

, 7 , * , i , oöy ,
^ + rfy + + — rfa; + ^ ^ r//y ,

z + — + — + H — - — dx H — — dii ;
Ö£ oy bx by

des dritten:

x H- d'z -f- d.r + ^~—d'x + ^^d'y ,

da? o //

s, + ^ + <% + ^V* + ^,

ö x oy • o # o //

Man findet den doppelten Flächeninhalt des zwischen die-
sen neuen Punkten gelegenen Dreiecks in der gleichen Weise

= (dxd'y — dyd'x) VN,

wenn wir der Kürze halber mit N das Aggregat

["/ b öx\ ibz böz \ _ ö öx Ibz b dz\*
+ L\ bx)\b~y + ~bi)~~Ty \bi + bx)\

, r/ , w&* , ^\ . I 2

LI by}\bx~*~ bx) bxUy^by)]

bezeichnen. Führen wir die Entwicklung durch, so folgt unter
Vernachlässigung von Grössen zweiter Ordnung:

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40

<-arl Friedrich G-

Hierin ist wieder der Kiirze halber L <rese-tzt för

■! rfv h h

Es verhalt sieh al-o da» erste Dreieck zum

zweiten wie

1 : 1 -J-

Diese« Ve:h.-u:n;ss i.< al-o ona^iianziar
des Elementes / and es wird

oder naeh. Entw.'rki'ii^ <ir? ♦.rLe'te:*:

- r - " "

0

V P * ., .... oo... c<5v .

D - Variation der ganzen o'-errid.-he /" erhalten wir dureh
Integration dies-:-! .Vi-bo'-k^ ü v .er alle Elemente Zu die-

se m Z*e:k wollen wir die zwei TL- II- des Integrals:

und

./ u •: r ' c jt ♦> r J

/' r f - cö/ , ^

77 ~ ' ? T v

j = B

von einander gesondert betrachten.

Wir denken uns eine zur l'-Ase normale Ebene, nnd zwar
so jrelesren, das* der eonstante Werth der ihr entspricht, in
das Gebiet zwischen den Extremwerthen fallt, die *j auf der
Otorfliteh': r einnimmt. Diese Ebene muss die Peripherie P

Digitized by CoOgt

Grandlugen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 41

in zwei oder vier oder sechs etc. Punkten schneiden, deren
ce-Coordinaten der Reihe nach x°, x, x" etc. seien. Alle
übrigen diesen Punkten zugehörenden Grössen wollen wir durch
die gleichen Indices unterscheiden. Die Oberfläche soll in
gleicher Weise noch von einer zweiten Ebene geschnitten wer-
den , die der ersteren unendlich benachbart und parallel und
die durch die Coordinate ;/ -f - dy gegeben ist. Zwischen diesen
beiden Ebenen mögen sich die Elemente dP°, dP\ dP' r etc.
der Grenzlinie befinden. Man erkennt leicht, dass :

dy = —Y»dP<> = + Y'dP' = — Y"dP" = + Y t "dP"' etc.

ist. Denken wir uns ausserdem unendlich viele zur avAxe
senkrechte Ebenen, so wird jedem Elemente dx, das zwi-
schen x° und x oder zwischen x" und x"' etc. gelegen ist,

d x di/

ein Flächenelement dU = — ^— entsprechen. Es ergiebt sich

demnach für denjenigen Theil von A , der dem zwischen den
Ebenen y, y + dy gelegenen Theile der Oberfläche entspricht,
der Werth

zu erstrecken von x = x° bis x = x' y dann von x = x" bis
x = x" etc. Unbestimmt integrirt ergiebt dieses Integral:

>2_L.r2 c r

— dy I löx — - " dy < " — dz ^1 dx

J J \ üx J hx hxj

und dieses geht in unserem Falle über in

(» 02 _J_ £0 2 £0,0 \

— <5*° - -j-J- öy« - S 0 <te°) ™ po

(»2 , r"2 C' r " i

-j- etc.

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42 Carl Friedrich Gauss,

oder in kürzerer Schreibweise:

- ftduidx-J* <?*/- ? -d*^)

Hierin ist die Summation über alle zwischen den Ebenen
y und y + dy gelegenen Elemente dP, die Integration über
alle zwischen y und y -f- <f?y gelegenen Elemente <ZZ7 zu er-
strecken.

Die ganze Grösse Ä wird demnach ausgedrückt durch

- ^ <ty - |i Ä J rdP

worin die erste Integration über die ganze Peripherie P, die
zweite über die ganze Oberfläche U zu erstrecken ist.

23.

Durch eine ganz ähnliche Rechnung finden wir:
D = j ^ Öx - * 2 ~t ^ dy + r; <Js) XdP

+ fr dU (öx-^-dy — *— + ^ ) •
J \ d/y ^ ö?y öy/

Setzen wir also für irgend einen Punkt der Grenzlinie P

[A'i;>; + l^ 2 + &)]dx - [X& + £*) + F^dy

und für einen Punkt der Oberfläche U

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 43

\ ö y ö x J * ö // ö y '

so wird endlich

ÖU=fQdP+fvdU 1

worin die erste Integration über die ganze Peripherie P, die
zweite über die ganze Oberfläche U zu erstrecken ist.

24.

Die eben aufgestellten Formeln für Q und V kann man
wesentlich zusammenziehen. Unter Zuhilfenahme der Beziehung:

+ Yrj + ZI = 0

nimmt 0 sofort die symmetrische Form an:

Q = ( F£ — Zij) + (z? - -xt) dz/ + —n) .

Um auch den für F erhaltenen Ausdruck in eine übersicht-
lichere Form überzuführen, beachten wir, dass aus den Glei-
chungen :

folgt :

d y bx

Daher wird

Aus der Relation § 2 + /, 2 -h £ 2 = 1 folgt:

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44

Carl Friedrich Gauss

und folglich:

Substituten wir diese Werthe in dem Coefficienten von dx
im Ausdrucke F, so wird dieser

In gleicher Weise erhalten wir ferner in demselben Ausdruck
für den Coefficienten von öy

Bevor wir weiter gehen, scheint es angebracht, die geo-
metrische Deutung der erhaltenen Ausdrücke uns zu vergegen-
wärtigen. Zu diesem Zwecke wollen wir die verschiedenen
hier auftretenden Richtungen der Anschauung leichter zugäng-
lich machen, indem wir die Methode befolgen, die in den
»Disquiss. gen. circa superficies curvas« benutzt ist: Wir ver-
anschaulichen sie durch Punkte auf einer um ein willkürliches
Centrum mit dem Radius 1 gelegten Kugelfläche. Wir bezeich-
nen so zunächst die Richtungen der Coordinatenaxen sc, jy, %
durch die Punkte (1), (2), (3), dann die Richtung der auf der
Oberfläche von s aus nach aussen hin errichteten Normalen
durch den Punkt (4), endlich die Richtung der Geraden, die
von einem jeden Punkte der Oberfläche nach dem Orte, in
dem er sich nach der Variation befindet, gezogen wird, durch
den Punkt (5). Die Variation des Punktes selber, d. h. die

Grösse V{dx? + öy 2 + öx 2 ) , die wir immer als positiv rech-
nen wollen, bezeichnen wir der Kürze halber mit de, und den
Bogen zwischen zwei Punkten der Kugel — z. B. (1) und (5) —
oder den Winkel, der diesen Bogen misst, schreiben wir (1, 5).

und es ergiebt sich daher:

25.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 45

Es wird also:

öx = de cos (1, 5) ; öy = de cos (2, 5) ;

dz = ö z cos (3, 5) .

Dies gilt für jeden Punkt der Oberfläche. Auf ihrer Um-
grenzung, d. h. der Peripherie P, treten noch zwei andere
Richtungen auf. Einmal die Richtung des Elementes dP, der
der Punkt (6) entsprechen möge, dann die Richtung der Nor-
malen hierauf, die die Oberfläche tangirt und in das Innere
derselben gerichtet ist. Dieser soll der Punkt (7) entsprechen.
Nach unserer Voraussetzung folgen sich die Punkte (6), (7), (4)
im gleichen Sinne wie die Punkte (1), (2), (3). Es sei noch
darauf aufmerksam gemacht, dass (4, 6), (4, 7), (6, 7) Quadranten
oder rechte Winkel darstellen. Es folgen so die Gleichungen,
die wir schon in Abschnitt 20 gegeben haben:

ij Z - £Y = cos (1, 7) , IX —$Z= cos (2, 7) ,

ij.Y= cos (3, 7) .

Die Formeln des vorigen Abschnittes gehen dann über in:

Q = — de cos (5, 7) ,

*)(!!+$•

Es bezeichnet daher Q die Verschiebung eines Punktes der
Peripherie P senkrecht zu der zu U normalen Tangentialebene
an P, positiv zu rechnen in der Richtung von der Oberfläche
V aus abgewendet. Der Factor in V aber, de cos (4, 5), be-
zeichnet die Verschiebung eines beliebigen Punktes der Ober-
fläche U in der Richtung der Normalen auf U, positiv zu
rechnen in der Richtung vom Räume s abgewendet.

Wir können aber auch den anderen Factor von V durch
eine geometrische Darstellung deuten. Wir haben nämlich:

Daraus ergiebt sich:

j — i? "0 7 U V I V«» 7 U "

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46 Carl Friedrich Gauss.

a| _ r _ a v öj;

ä 2 ^ ?> 2 -

öi; ^ o 2 ~ ..d 2 ; t ^ ö 2 ^

ö 2 r ö 2 s

und somit:
d .r ö //

Der Werth dieses Ausdruckes ist bekanntlich

R + IV '

wenn R und 7?' die extremen Krümmungsradien in dem zu
betrachtenden Punkte bezeichnen, und zwar sind sie positiv zu
rechnen, wenn die Oberfläche ihre convexe Seite nach aussen
kehrt.

26.

Eine aufmerksame Prüfung unserer Rechnung von Ab-
schnitt 22 an lässt uns eine stillschweigende Annahme er-
kennen, die ihr anhaftet, nämlich die, dass jedem Werthepaare
von j\ y nur ein einziger Werth von % zugehört, und dass T
überall auf der Oberfläche positiv ist. Nichtsdestoweniger wird
aber die Allgemeiugültigkeit des endlichen Theorems, auf das
uns die Rechnung geführt hat, nämlich:

dU = — j de cos [b,7)dP + f Öc cos (4, 5) + ^) dU, [l

durch diese Annahme nicht beeinträchtigt. Wenn wir diese
Allgemeingültigkeit gleich von Anfang an hätten wahren wollen.

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 47

hätten wir entweder uns auf Weitschweifigkeiten einlassen
oder einen etwas anderen Weg verfolgen müssen. Aber vdr
können leicht zum selben Ziele auch durch folgende Erwägun-
gen gelangen.

Unsere Analysis ist offenbar unabhängig von der Voraus-
setzung, dass die s-Axe vertical steht. Es ißt überhaupt die
Lage des Axensystems vollkommen willkürlich, und die Gültig-
keit des Theorems bleibt aufrecht erhalten für alle Oberflächen,
bei denen der Complex aller Punkte (4) durch eine einzige
Halbkugel umfasst werden kann: es genügt nämlich, das Cen-
trum dieser Halbkugel, d. h. den Pol mit dem Punkte (3) zu-
sammenzulegen.

Wenn aber eine Oberfläche dieser Bedingung nicht genügt,
so ist es immer möglich, sie in zwei oder mehr Theile zu zer-
legen, von denen jeder einer solchen Bedingung genügt. Man
erkennt dann leicht, dass, wenn eine Oberfläche in zwei Theile
zerlegt ist, die Gültigkeit des Theorems für die ganze Ober-
fläche aus der Gültigkeit für die einzelnen Theile sich folgern
lässt. Es bestehe z B. die Fläche U aus den Theilen r', V'\
und es sei P die Umgrenzung von U' 1 P'' die von I'". Es
habe ferner P' mit P" den Theil P'" gemeinsam, so dass P'
aus P " und P"" P" aus P'" und P'"" besteht. Es soll also
die Umgrenzung P der ganzen Fläche V sich aus P"" und P'""
zusammensetzen. Dann wird

f de cos (5, 7) dP'

=föc cos [5, 1) dP'" + för cos (5, 7) dP"" ,

föews (5, l)dP"

=fde cos (5, 7) dP'" -h j de cos (5, 7) dP

Es ist nun wohl zu beachten, dass der Werth von

f öe cos (5, 7) dP"\

so weit er einen Theil des ersten Integrals bildet, gerade ent-
gegengesetzt ist dem Werthe des gleichen Integrals, sobald es
ein Theil des zweiten Ausdruckes ist. Denn einem jeden
Punkte der Linie P", die in diesen beiden Fällen in ent-
gegengesetzter Richtung zu durchlaufen ist, entsprechen

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48

Carl Friedrich Gauss.

entgegengesetzte Punkte (7) und folglich entgegengesetzte
Werthe des Factors cos (5, 7). Bei der Addition heben diese
beiden Theile sich also gegenseitig auf, und es folgt:

j de cos (5, 7) dP' + Jde cos (5, 7) dP"

=Jde cos (5, 7) dP .

Es ergiebt sich hieraus, dass, da dU = dU' -f- dU" ist,
der Werth von dU mit dem in Formel (I) aufgestellten im
Einklang steht, wenn diese Formel für die Werthe der Va-
riationen dU', dU" zutreffend angenommen wird. Zum Schlüsse
bemerken wir noch, dass wir die Gültigkeit des Theorems (I)
auch aus geometrischen Betrachtungen hätten folgern können,
und zwar leichter als auf analytischem Wege. Wir haben
aber diesen letzteren hier eingeschlagen, um die Gelegenheit
zu benutzen, die Variationsrechnung, angewandt auf doppelte
Integrale mit variabeln Grenzen, die bisher nur wenig erforscht
ist, aufzuklären. Die ziemlich nahe liegende andere, geometri-
sche Methode überlassen wir dem erfahrenen Leser.

27.

Es bleiben uns jetzt noch die Variationen zu untersuchen,
die die übrigen Elemente des Ausdruckes W bei einer Form-
änderung des Raumes *• erfahren. Zuerst wollen wir auf die
Variation des Volumens von s eingehen.

Wir nehmen die zwei in Abschnitt 21 betrachteten Drei-
ecke wieder auf und verbinden entsprechende Punkte der Seiten
mit einander. Es entsteht dadurch ein Körper, an Stelle des-
sen wir ein Prisma setzen können mit der Basis dU und der
Höhe £dx -f- t]dy -|- Cdz = de cos (4, 5) . Diese Formel
liefert eine positive oder negative Zahl, je nachdem das ver-
schobene Dreieck — und damit der ganze Körper — ausser-
halb oder innerhalb des Raumes s gelegen ist. Wir haben
somit :

Ös= fdU de cos (4,5) (II)

Und weiter folgt hieraus für die Variation des Integrals fzds :

d f xds = j zdUde cos (4, 5) (III)

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 49

Was nun ferner die Variation der Grösse T anbelangt, so
sei auf Folgendes aufmerksam gemacht. Da P die gemein-
same Grenzlinie der Oberflächen Y 7 , V darstellt, so müssen die
Verschiebungen der Punkte von P der Bedingung genügen,
dass ihre neuen Orte auf der Oberfläche von $ bleiben. Es
erfährt demnach augenscheinlich durch die Verschiebung des
Elementes dP die Oberfläche T eine Veränderung

Das Vorzeichen dieser Veränderung wird, wie man leicht tiber-
sieht, allgemein positiv oder negativ ausfallen, je nach dem
Vorzeichen der Grösse cos (4, 5). Zweckmässiger aber drücken
wir diese Veränderung durch Einführung einer neuen Richtung
aus. Diese soll die Oberfläche von S tangiren, auf P senk-
recht stehen und von s aus nach auswärts gerichtet sein. Den
dieser Richtung zugehörenden Punkt der Kugelfläche bezeich-
nen wir mit (8). Dann wird die Variation der Oberfläche 7 1 ,
die von der Verschiebung des Elementes dP herrührt

Das Vorzeichen des Factors cos (5, 8) entscheidet darüber von
selbst, ob die Veränderung einen Zuwachs oder eine Abnahme
bedeutet.

Da der Punkt (6) der Pol zu dem durch (7) und (8j ge-
zogenen grössten Kreis ist, und da der Punkt (5) auf dem
grössten Kreis durch die Punkte (6), (8) liegt, so bilden
(5), (7), (8) ein Dreieck, das bei (8) einen rechten Winkel be-
sitzt. Es ist demnach cos (5, 7) = cos (5, 8) cos (7, 8). Der
Bogen (7, 8) misst aber den Winkel zwischen zwei Ebenen,
die die Oberflächen von s und S in ihrer Schnittlinie P tan-
giren, und zwar den Winkel zwischen den Theilen dieser
Ebenen, die den leeren Raum einschliessen. Nennen wir
diesen Winkel so ist 180° — i der Winkel zwischen den
Seiten der Tangentialebenen, die den Raum s in sich fassen,
und es wird unsere Formel

=b dPör sin (5, 6) .

dPdr cos (5, 8)

oder es wird

(IV)

cos (5, 7) =-- cos (5, 8) cos *

(V)

ostwal.l's Klassiker. i:$5.

4

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50

Carl Friedrich Gauss.

28.

Aus den Formeln (Ii bis (IV) folgt die Variation des Aus-
druckes TT"

wo das erste Integral über alle Elemente dU des freien Theiles
oder (wenn mehrere getrennt vorhanden) der freien Theile der
Oberfläche von s zu erstrecken ist. Das zweite Integral muss
über alle Elemente dP der Linie oder der Linien erstreckt
werden, die diese freien Oberflächentheile von den den Kaum
£ berührenden Theilen trennen.

Es rauss nun im Zustande des Gleichgewichts der Werth
von W ein Minimum sein, und somit kann W bei einer un-
endlich kleinen Aenderung der Flüssigkeitsform, bei der das
Volumen .9 unverändert bleibt, d. h. bei der

verschwindet, eine negative Aenderung nicht erfahren. Es folgt
daraus leicht, dass die Form der Oberfläche U in der Gleich-
gewichtslage so beschaffen sein muss, dass auf allen ihren
Punkten das Element der Aenderung öW

proportional mit dem Elemente der Variation ös, also mit
dUöc cos (4, 5) sein muss, mit anderen Worten, es muss

sein. Denn, wenn diese Proportionalität nicht bestände, dann
würde bei geeigneter Wahl der Oberflächenänderung von V
der Werth von W einer Abnahme fähig sein, während dabei
die Grenzlinie P ungeändert gehalten wird. Uebrigens gilt
diese Gleichung für die ganze Oberfläche U, auch wenn diese
aus mehreren gesonderten Theilen besteht, so lange nur die
Flüssigkeit in sich im Zusammenhang steht.

(VI!

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 51

Diese Gleichung bildet das erste grundlegende Theorem in
der Gleichgewichtstheorie der Flüssigkeiten, dasselbe, das schon
Laplace, allerdings auf ganz anderem Wege, aufgefunden hat.

Wenn wir die Horizontalebene, für die % gleich der in
unserer Gleichung auftretenden Constanten ist, und die wir
als »normale Horizontalebene« (plan de niveauj bezeichnen
können, an Stelle unserer Ebene z = 0 einführen, so wird

und wir ziehen daraus die nachstehenden Folgerungen:

I. Wenn die Normalebene die freie Oberfläche U irgendwo
schneidet, so muss an jedem Punkte der Schnittlinie die Ober-
fläche nothwendig coneav-convex sein, und der grösste Krüm-
mungsradius der Convexität muss gleich dem grössten Krüm-
mungsradius der Concavität sein.

II. Oberhalb der Normalebene muss die Oberfläche entweder
concav-concav sein, oder, wenn sie irgendwo coneav-convex
ist, so muss die Concavkrtimmung die Convexkrümmung über-
wiegen.

III. Unterhalb der Normalebene muss die Oberfläche ent-
weder eonvex-convex sein, oder, wenn sie irgendwo coneav-
convex ist, so muss die Convexkrümmung die Concavkrümmung
überwiegen.

IV. Die freie Oberfläche kann keinen ebenen Theil von
endlicher Ausdehnung besitzen, der anders als horizontal ge-
legen wäre und mit der Normalebene zusammenfiele.

Mittels der soeben aufgestellten Gleichung reducirt sich
die Variation von W auf

Führen wir nun einen Winkel A ein, gegeben durch die
Bedingung

29.

ÖW=—ldP de cos (5, 8) («2 cos * — «2 _|_ 2 ^2)} .

so folgt

Ö W = a*f dPöe cos (5, 8) (cos A - cos *) ,

4*

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52

Carl Friedrich Gauss.

worin die Integration über die ganze Grenzlinie P zu er-
strecken ist. Es sei daran erinnert, dass der Factor cos (5, 8
gleich db sin (5,6) ist, wobei das positive oder negative Zei-
chen zu wählen ist, je nachdem die Flüssigkeit in ihrer vir-
tuellen Bewegung am Orte des Elementes dP über die Grenze
P hinaustritt oder unter sie zurücksinkt. Hieraus entnehmen
wir leicht, dass allgemein im Zustande des Gleichgewichts
überall

i = A (VII

sein muss. Denn wenn z. B. an irgend einer Stelle der Linie /'
/ <d A wäre, dann würde eine virtuelle Verschiebung der ersten
Art an dieser Stelle — bei Festbleiben des übrigen Theiles
von P — offenbar eine negative Aenderung von W hervor-
bringen. Andererseits würde eine negative Aenderung von W
durch eine virtuelle Flüssigkeitsverschiebung der zweiten Art
hervorgerufen, wenn an irgend einer Stelle der Linie P i > A
wäre. Beide Annahmen widersprechen also der Gleichgewichts-
bedingung des Minimums.

Dies ist das zweite Fundamentaltheorem, das ebenfalls in
die Untersuchungen von Laplace eingewebt ist. Aber aus einem
Princip der Molecularkräfte ist es nicht abgeleitet.

30.

Das im vorigen Abschnitt gewonnene Theorem bedarf in
einem gewissen Falle, den wir nicht übergehen dürfen, einer
Ergänzung. Wir haben stillschweigend vorausgesetzt, dass die
Oberfläche des Gefässes in der Nachbarschaft der Grenzlinie
P eine sich stetig ändernde Krümmung besitzt, so dass an
jeder Stelle dieser Grenzlinie nur eine die Gefässwand berüh-
rende Tangentialebene existirt. Wenn die Continuität der
Krümmung in irgend einem singulären Punkte von P gestört
ist, sei es dass die Fläche hier eine Spitze besitzt, sei es
dass eine Schneide die Linie P durchsetzt, so erkennt man
leicht, dass unsere Schlussfolgerungen dadurch nicht beeinträch-
tigt werden. Anders verhält es sich, wenn die Continuität der
Krümmung längs eines endlichen Theiles der Grenzlinie P eine
Unterbrechung erfährt, also wenn etwa die Oberfläche des Ge-
fässes längs eines endlichen Theiles der Linie P (oder auch
längs der ganzen Linie) eine Schneide besitzt. Dann existiren an
jedem Punkte dieses Theiles zwei die Gefässwand berührende

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 53

Tangentialebenen, von denen die eine dem freien Oberflächen-
theile des Gefässes angehört, die andere dem Theile T. Be-
halten wir für den zwischen der erstgenannten und der die
Fläche U tangirenden Ebene gelegenen Winkel das Zeichen i
bei, und bezeichnen wir den Winkel zwischen der zweitgenann-
ten Ebene und der Tangentialebene zu U mit k, dann wird
nicht mehr i -f- k = 180° sein, sondern es muss grösser oder
kleiner sein, je nachdem die Schneide convex oder concav ist.
Während nun das Element der Variation ö W bei einer virtu-
ellen Verschiebung der Flüssigkeit über die Grenzlinie P hinaus
auch jetzt noch durch

a 2 dPöe sin (5, 6) (cos A — cos i)

gegeben ist, so wird das Element dieser Variation, wenn die
virtuelle Verschiebung durch ein Zurücktreten der Flüssigkeit
unter die Grenzlinie bedingt ist, gleich

— a*dPde sin (5, 6) (cos A + cos k) .

Damit es nun unmöglich gemacht wird, dass W eine negative
Aenderung erfährt, ist zu verlangen, dass weder cos A — cos i
negativ, noch cos A -f- cos k positiv ausfällt, d. h. es muss sein

entweder i = A oder i > A ,

und fc=180° — a oder fc>180° — A.

Im Zustande des Gleichgewichts kann also niemals

i + k< 180°

werden, oder mit anderen Worten: Im Zustande des Gleich-
gewichts kann niemals die Grenzlinie der freien Ober-
fläche U sich längs eines endlichen Stückes auf einer
concaven Schneide befinden. Sobald dagegen ein Theil
dieser Grenzlinie mit einer Cpnvexschneide zusammenfällt, ist
die nothwendige und hinreichende Bedingung des Gleichgewichts,
dass der Winkel zwischen den Tangentialebenen an die Flüssig-
keit und an das Gefäss innerhalb der Grenzen A und A + a
(einschliesslich) gelegen ist, wenn wir ihn ausserhalb der Flüs-
sigkeit messen, und zwischen 180° — A und 180° — ^i + a,
wenn wir ihn innerhalb der Flüssigkeit messen. Wir haben
hier den Winkel zwischen den zwei Tangentialebenen, die man
am Orte der Schneide an die Gefässoberfläche legen kann,
unbestimmt mit 180° — a bezeichnet, gemessen im Inneren der
Gefässwand.

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54

Carl Friedrich Gauss.

31.

Die Constauten a 2 , ß 2 , deren Verhältniss den Winkel A
bestimmt, hängen von den Functionen /*, F ab, und sie kön-
nen in gewissem Sinne angesehen werden als ein Maass für
die Intensität der Molecülarkräfte, die die Theilchen der Flüs-
sigkeit und des Gefässes ausüben. Wenn diese Functionen so
eingerichtet sind, dass f(x), F(x) in einem festen vom Abstand
x unabhängigen Verhältniss stehen, wenn sie sich z. B. wie
u zu N verhalten, so können wir sofort schliessen

a 2 :ß 2 cu: CN,

•

d. h.- die Constanten a 2 , ß 2 werden proportional den anziehen-
den Kräften, die im gleichen Abstand zwei hinsichtlich ihres
Volumens gleiche Molekeln ausüben, deren eine der Flüssig-
keit, die andere dem Gefasse angehört. Denken wir uns jetzt
die vier Fälle, dass ^4 gleich einem spitzen, einem rechten,
einem stumpfen, gleich zwei rechten Winkeln wird, je nachdem

/* 2 <i« 2 , ß 2 = \ci 2 , Ja 2 </* 2 <« 2 , ß 2 = a 2

wird. Im Sinne unserer Hypothese (die zwar unbewiesen ist,
aber der Wahrscheinlichkeit nicht widerspricht) müssen wir
dann sagen : Der erste Fall tritt ein, wenn die wechselseitige
Anziehung der Flüssigkeitstheilchen grösser ist als die doppelte
Anziehung der Gefässtheile auf die Flüssigkeit; der zweite,
wenn die erstgenannte Anziehung doppelt so gross ist als die
letztere; der dritte Fall, wenn die erstere grösser ist als die
letztere, aber kleiner als ihr doppelter Betrag ; der vierte Fall
endlich, wenn beide Anziehungen einander gleich sind. Ein
Beispiel zum ersten Falle bietet Quecksilber in Glasgefassen.

<

32.

Wie gross wird aber der Winkel A in dem Falle, wo die
Anziehung des Gefässes grösser ist als die wechselseitige An-
ziehung der Flüssigkeitstheile unter einander? Der imaginäre

Werth, den nach der Formel sin 1 A = der Winkel A für

ß 2 > a 2 erlangt, beweist, dass diesem Falle irgend eine un-
zulässige Annahme zu Grunde liegt. In der That, sobald
^ 2 > « 2 , ist die Annahme einer Begrenzung der Oberfläche T
mit der Minimumbedingung für die Function W nicht mehr

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 55

vertraglich. Denn wo man auch die Grenze annimmt, man
erkennt sofort: Wenn man über diese Grenze hinaus eine sehr
dünne Haut ausgedehnt denkt, so dass T den Zuwachs T und
U einen diesem fast gleichen Zuwachs erhält, so erfährt W
eine Aenderung, die merklich gleich der Grösse

a

— (2 £2 _ 2 c*2) r

ist. Es ist also der Werth von W so lange einer weiteren
Verkleinerung fähig, bis T' die ganze freie Oberfläche des Ge-
fä9ses bedeckt hat. Der Werth der Veränderung

- (2 ß 2 — 2 a' 2 ) T'

wird um so mehr sich der Wahrheit nähern, je geringer wir
die Dicke der Haut annehmen. Und so lange es sich nur
um den Werth des Ausdruckes W handelt, steht nichts im
Wege, diese Dicke bis zum Verschwinden verkleinert zu denken.
Jedoch ist eine Haut von verschwindender Dicke (wohl zu
unterscheiden von einer unmerklichen Dicke) nur eine mathe-
matische Fiction, und die Form des Raumes so weit sie
dieser Fiction genügt, wird sich in der That nicht von der
unterscheiden, bei der im Falle ß 2 = a 2 die Function W einen
Minimalwerth erreicht.

Etwas anders liegt die Sache bei unserem physikalischen
Problem, wo eine solche Haut eine gewisse, wenn auch un-
messbar kleine Dicke besitzen muss, damit Gleichgewicht herr-
schen kann. Wenn ein solcher Theil vorhanden ist, ist der
Ausdruck IF, wie in Abschnitt 18 gezeigt ist, nicht vollständig.
Bezeichnet T' den von der Haut bedeckten Theii des Gefässes,
und ist q die Dicke derselben, so treten zu Q noch die Glieder

7tr 2 jo'[f})dr — ;ccC jv(Q)dT' ,

also zu W die Glieder

Da also IF, wenn eine solche Haut auftritt, bereits die Aen-
derung — (202 — 2a 2 )T f erfährt, so folgt, dass die Gesammt-

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Carl Friedrich Gauss.

änderung, die hinzutritt zu dem Werthe von JF, der ohne Be-
rücksichtigung der Haut statt hat, gleich

-/"H-^)-(-^)] .

ist. Diese Aenderung wird wegen 0'(O) = 0(O), @'(O) = 0(O)
bei verschwindender Dicke gleich 0; und da #'((>), mit
zunehmender Dicke g sehr schnell abfällt und schon für einen
unmessbar kleinen Werth von q unmessbar klein wird, so er-
giebt sich, dass diese Aenderung sehr schnell gegen den Werth
— [2ß 2 — 2 u 2 ) T' convergirt, und sie muss im Gleichgewichts-
zustand ihm merklich gleich sein, damit der strenge Werth
von W einer weiteren Verminderung nicht mehr fähig ist.
Uebrigens verlangt die Aufstellung eines vollkommenen Ge-
setzes, dem die Dicke q folgen muss, tiefergehende Entwick-
lungen, bei denen wir uns hier aber nicht länger aufhalten
wollen ; denn ohne Kenntniss der Functionen fr\ von denen
die Functionen 0\ 0' abhängen, und wegen der Erwägungen,
die wir im Abschnitt 34 geben wollen, scheint diese Frage
müssig zu sein. Für die Erforschung des wesentlichen Theiles
der Flüssigkeit, d. h. des Theiles, dessen Dimensionen sämmt-
lich messbare Grössen sind, genügt es in unserem Falle, also
wenn /J 2 >a 2 , das Gefäss in der Nachbarschaft der Grenzlinie
dieses wesentlichen Theiles benetzt, d. h. mit einer Flüssigkeits-
haut bedeckt zu denken, deren Dicke zwar unmessbar klein,
aber doch so gross ist, dass 0'(q) und 0'((>) vernachlässigt
werden können. Unter dieser Annahme wird die Function,
die im Gleichgewichtszustand ein Minimum werden soll, gleich

I x <ls - 2 — a 2 ) (T + T') — « 2 T + « 2 r ;

hierin dürfen T und V nur auf den wesentlichen Theil der
Flüssigkeit bezogen werden. Es folgt demnach, dass die Va-
riation dieser Function, soweit sie von einer virtuellen Form-
änderung des wesentlichen Theiles der Flüssigkeit herrührt
(eine Aenderung , die die Summe T -f- T' nicht beeinflusst),
zusammenfällt mit der Aenderung des Ausdruckes

d.h. mit der Aenderung des Ausdruckes, der im Falle ß 2 =a 2

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 57

ein Minimum sein muss. Wir entnehmen daraus, dass eine
Flüssigkeit in einem Gefässe, bei dem ß 2 >a 2 ist, dieselbe
Gleichgewichtsfigur bildet, wie in einem Gefässe, bei dem
ß 2 = a 2 , nur mit dem Unterschied, dass sie im ersten Falle
streng genommen in eine Haut von unmessbar kleiner Dicke
auslaufen muss.

Uebrigens hat bereits Laplace darauf hingewiesen, da3s in
diesem Falle ein Gefäss, das mit einer' unmessbar dünnen
Fltissigkeitshaut bedeckt ist, gleichwerthig ist mit einem Ge-
f&ss, dessen Massentheile die gleiche anziehende Kraft auf die
Flüssigkeit ausüben, wie die Flüssigkeitstheilchen unter ein-
ander.

Es folgt hieraus von selbst die Abänderung, die wir bei
unseren Darlegungen in Abschnitt 19, betreffend die Steighöhe
von Flüssigkeiten in verticalen Capillarröhren , anzubringen
haben: Sobald ß 2 > a 2 , haben wir in den dort aufgestellten
Formeln ß 2 durch a 2 zu ersetzen.

In dem Falle, wo ß 2 < « 2 , kann eine Benetzung des Ge-
fässes mit einer Flüssigkeitshaut von unmessbar kleiner Dicke
nicht statt haben, wenigstens nicht, wenn das Gesetz der Func-
tionen 0\ G' derart ist, dass der Werth der Function

die wir kurz mit Q(o) bezeichnen wollen, stetig zunimmt, wenn
q von 0 bis zu einem messbaren Werthe anwächst. Denn es
würde offenbar bei einer derartigen Beschaffenheit der Func-
tion Q(q) die Existenz einer solchen Haut der Bedingung des
Minimums widersprechen. Diese Beschaffenheit von Q(q) leitet
sich von selbst aus der Hypothese ab, über die wir in Ab-
schnitt 31 gesprochen haben, nämlich dass f[x) und F(x) in
einem festen, von x unabhängigen Verhältniss stehen. Hieraus

würde nämlich folgen, dass = , { , und somit

Wenn aber f und F einem anderen Gesetze folgen würden,

33.

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58

Carl Friedrich Gauss.

dann wäre denkbar, dass schneller abnimmt als ^J~^ ,

(y (Uj (i (O)

und dass daher die Function Q{q) innerhalb des Gebietes, das
die nnmessbar kleinen Werthe von q umfasst, zuerst negativ
wird, und nachdem sie ihren kleinsten (d. h. den äussersten
negativen) Werth erreicht hat, wieder durch den Werth 0 hin-
durch sich ihrem positiven Grenzwerthe a 2 — ß 2 nähert. In
einem solchen Falle würde das Gleichgewicht entschieden eine
unmessbar dünne Flüssigkeitshaut fordern, deren Dicke so gross
sein müsste, dass sich Q(q) nicht merklich von seinem Mini-
malwerthe unterschiede. Bezeichnen wir diesen mit — ß' 2 , so
folgt ß' 2 <ß 2 ; und die Form des wesentlichen Fltissigkeits-
theiles wird ebenso begrenzt sein, als wenn sich die Flüssig-
keit in einem Gefässe befände, für welches an Stelle von ff 2
die Grösse ß' 2 einträte, d. h. der Winkel zwischen der Tan-
gentialebene, die an der Grenze des wesentlichen Theiies die
freie Oberfläche der Flüssigkeit berührt, und der Gefässwand

ß'

ergiebt sich gleich 2 arc sin — . Da es aber sehr zweifelhaft

cc

ist, ob ein solcher Fall in Wirklichkeit vorkommt, so scheint
es nicht nöthig, länger dabei zu verweilen.

34.

Es wäre nicht im Sinne unserer Absicht, wenn wir von
den hier aufgestellten allgemeinen Principien auf specielle Er-
scheinungen tibergehen wollten, zumal da diese Principien ihrem
Wesen nach mit der Theorie übereinstimmen, aus der Laplacc
mit gutem Erfolg eine grosse Zahl auffallender Erscheinungen
aus dem Gebiete der Gleichgewichtsform von Flüssigkeiten er-
klärt hat. Es bleibt noch ein weites Feld, das reiche Ernte
verheisst. Doch soll das späteren Arbeiten vorbehalten blei-
ben. Dagegen ist es angemessen, einige Bemerkungen anzu-
fügen, die theils neues Licht über unseren Gegenstand ver-
breiten, theils irrige Deutung verhindern sollen.

I. Unsere Theorie beansprucht nicht, eine mathematisch
genaue Bestimmung der Gleichgewichtsfigur geben zu wollen.
Sie begnügt sich damit, die Bestimmung einer Figur zu liefern,
derart, dass die wahre Gleichgewichtsfigur nur unmessbar wenig
von ihr abweicht. Es wäre ein Irrthum, wenn man dies einer
Un Vollkommenheit der Theorie zuschreiben wollte. Unsere

uigi

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Grundlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 59

Theorie leistet so viel, als sie in anbetracht unserer Unbe-
kanntschaft mit dem Wirkungsgesetz der Molecularkräfte zu
bieten vermag. Im Zustande des Gleichgewichts muss streng
genommen die Function f2 ein Maximum sein, also

9 <J<'

ein Minimum; diese Function ist je nach dem Gesetz der Mole-
cularanziehung nicht streng gleich der Function W, sie weicht
aber nur unmessbar wenig von ihr ab. Also wird auch die
Flüssigkeitsgestait, bei der IV ein Minimum wird, nicht streng
gleich der Gleichgewichtsfigur sein, aber der Unterschied muss
unmessbar klein sein, wenigstens so lange irgend eine mess-
bare Aenderung dieser Figur einen um einen messbaren Betrag
vergrößerten Werth von W hervorbringt. Offenbar wird hier-
durch aber eine messbare Abweichung der Oberflächenkrüm-
mung nicht ausgeschlossen, wenn diese sich nur auf ein un-
messbar kleines Gebiet der Oberfläche beschränkt. Es darf
deshalb auch bei der strengen Gleichgewichtsfigur der constante
Winkel, den wir früher mit A bezeichnet haben, nicht mehr
als der Neigungswinkel der Flüssigkeitsoberfläche gegen die
Gefässwand am Orte desContactes beider angesehen werden,
sondern lediglich als der Neigungswinkel derselben in un-
messbar kleinem Abstände vom Gefäss. Aehnlich hat
schon Laplaee richtig erkannt, dass die Neigung auf der Grenze
der Wirkungssphäre mit dem Winkel A merklich übereinstimmt.

II. Man muss wohl unterscheiden zwischen der Gleichge-
wichtsgestalt und der der Ruhe. Sobald sich die Flüssigkeit
im Zustande des Gleichgewichts befindet, muss sie sicherlich
darin verharren. Wenn aber die Gestalt etwas von der der
Gleichgewichtslage abweicht, so kann es gleichwohl vorkommen,
dass die Flüssigkeit in Ruhe bleibt, oder, wenn sie iu Be-
wegung ist, dass sie zur Ruhe kommt, bevor sie die Gleich-
gewichtslage erreicht hat. Aehnlich wird z. B. ein Würfel,
auf eine Horizontalebene gelegt, in Ruhe bleiben, aber er wird
auch auf einer etwas geneigten Ebene noch in Ruhe bleiben,
wenn die Reibung seine Bewegung hindert. Somit wird die
Flüssigkeit in einer solchen Lage, in der W einen Minimal-
werth besitzt, sicher ruhen. Befindet sie sich aber in einer
etwas abweichenden Lage, bei der W noch einer Verminde-
rung fähig ist, wird sie aus dieser nur dann in die Gleich-
gewichtslage übergehen, wenn die Reibung sie nicht daran
hindert.

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60

Carl Friedrich Gauss.

Mit Rücksicht hierauf sind zwei Gleichgewichtsbedingungen
wesentlich verschieden. Sicherlich ist die erste Fundamental-
gleichung (Abschnitt 28, VI) unabhängig von einer Veränder-
lichkeit der Grenzlinie d. h. sie ist für die Bedingung des
Minimums auch dann noch erforderlich, wenn diese Grenze als
unveränderlich vorausgesetzt wird. Wenn somit die Flüssigkeit
eine vollkommene Flüssigkeit ist, so dass ein Theil frei über
den anderen hingleiten kann, und auch die kleinste Kraft eine
Bewegung verursacht, dann muss die Flüssigkeit sich noth-
wendig jener Bedingung fügen. Ganz anders liegen die Ver-
hältnisse bei dem zweiten Grundprincip (Abschnitt 29, VII),
das wesentlich von der vollkommenen Beweglichkeit der Grenz-
linie auf der Gefässwand abhängt. Die Minimumbedingung für
den Werth W fordert unter allen Umständen die Beziehung
i = A. Wenn nun die Flüssigkeitsoberfläche sich dem ersten
Princip angepasst hat, und der Winkel i seinen Normalwerth,
also auch W seinen absoluten Minimalwerth noch nicht erreicht
hat, so kann der Uebergang zum vollkommenen Gleichgewicht
nicht ohne Verschiebung der Grenzlinie P 1 also nicht ohne
Bewegung der Flüssigkeit an der Berührungsstelle mit dem
Gefässe erfolgen. Einer solchen Bewegung kann sich aber
die Reibung widersetzen. Daraus erklärt es sich, warum wir
bei Versuchen, angestellt an den gleichen Körpern, so grossen
Differenzen in den Werthen des Winkels i begegnen. Des-
gleichen vertheilt sich in dem Falle, dass /S? 2 >a 2 , die Flüs-
sigkeit in dem Gefäss, dessen Wände bereits benetzt sind,
entsprechend dem Gleichgewichtsgesetze, dem zufolge für den
wesentlichen Theil der Flüssigkeit i — 180° sein muss. Wenn
aber in einem Gefässe, dessen Wände ausserhalb der Flüssig-
keit noch trocken sind, diese aus einer dem Gleichgewicht
nicht zukommenden Stellung sich über die trockenen Wände
ausbreitet, so kann sie zur Ruhe kommen, noch bevor der
Winkel i den Werth 180° erreicht hat. Hieraus erklärt sich
auch die Thatsache, dass die Capillarerscheinungen benetzen-
der Flüssigkeiten in trockenen Röhren so grosse Unregelmässig-
keiten aufweisen. Die Flüssigkeiten erreichen hier meist eine
weit geringere Steighöhe als in vorher benetzten Röhren, in
welchen man immer die schönste Uebereinstimmung mit der
Theorie findet.

III. Das Verhältniss der Constanten a, ß lässt sich aus
Versuchen nicht mehr bestimmen, wenn ß grosser als « ist.
Denn die Gleichgewichtsgestalten der gleichen Flüssigkeit in

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Grandlagen einer Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten etc. 61

gleichgeformten, aber der Materie nach verschiedenen Gefässen
unterscheiden sich in diesem Falle nicht mehr von einander,
ausser in der unmessbaren Haut, die die Gefasswand bedeckt.
Sobald aber ß kleiner als a ist, ist die Bestimmung des Ver-
hältnisses dieser zwei Constanten mit Hilfe des Winkels * zwar
möglich, kann aber wegen der vorhin angeführten Umstände
kaum grosse Genauigkeit liefern. Für Quecksilber in Glas-
gefässen fand Laplaee den Winkel i — 43° 12'.

Weit grösserer Genauigkeit ist die Bestimmung der Con-
stanten a fähig, besonders wenn es möglich ist, benetzbare
Gefässe zu verwenden. Wasser von 8,5° C. liefert nach Ver-
suchen, die Laplaee anführt*), die Werthe

et 2 — 7,5675 mm 2 oder
a — 2,7509 mm.

Alkohol vom spee. Gew. 0,81961 giebt bei derselben Tempe-

ratur « 2 = 3,0441 mm 2 oder

« = 1,7447 mm.

Terpentinöl von 8° C. giebt

«2 = 3,305 mm 2 ,
a = 1,818 mm.

Für Quecksilber bei einer Temperatur von 10° hat man,
bis neue Experimente eine grössere Genauigkeit gewährleisten,
zu setzen ß2 = 3>2Ö mm2 oder

a = 1,803 mm.

Es ist übrigens wahrscheinlich, dass die Temperatur nur
insofern den Werth von a 2 beeinflusst, als von ihr die Dichte
abhängt, der in unserer Theorie a 2 proportional ist.

Die hier angegebenen Werthe sind erschlossen aus der
Steighöhe oder der Depression der Flüssigkeiten in Capillar-
röhren. Es ist jedoch sehr schwer, deren Durchmesser exaet
zu messen, und noch schwerer, Sicherheit über die kreisförmige
Gestalt des Querschnittes zu erlangen. Weit grössere Genauig-
keit versprechen Versuche über Durchmesser und Volumen
grosser Quecksilbertropfen , die man auf horizontalen Platten

* Es sei bemerkt, dass die Grösse, die Laplaee mit H bezeich-
net, unserem ncO(0 entspricht. Somit ist sein n dasselbe, was in

unserer Bezeichnung — ^— oder , ist.

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62

Carl Friedrich Gauss.

oder Schalen von sehr kleiner bekannter Krümmung ruhen
lässt. Solche Versuche haben schon Scgrter und Gay-L,us$ac
angestellt. Desgleichen möchte ich für Flüssigkeiten, welche
Glasgefasse benetzen, Untersuchungen über die Dimensionen
grosser Luftblasen empfehlen, angestellt in Gefassen, die man
mit einem benetzten horizontalen und ebenen oder auch schwach,
aber in bekannter Weise gekrümmten Deckglase verschliesst.

IV. Um nicht die Grenzen dieser Abhandlung zu tiber-
schreiten, musste die Anwendung unserer Grundprincipien an
dieser Stelle auf den einfachsten Fall beschränkt werden, näm-
lich den, wo eine einzige Flüssigkeit in einem festen Gefässe
angenommen war. Es hindert aber nichts, die grösste All-
gemeinheit der Theorie zu gewinnen, so dass sie auch das
Problem mehrerer Flüssigkeiten in einem Gefässe, ja sogar
den Fall umfasst, wo starre Körper ganz oder zum Theil in
die Flüssigkeit eintauchen. Aber die ausführlichere Behand-
lung dieser Fragen müssen wir uns für eine andere Gelegen-
heit vorbehalten.

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Anmerkungen.

1) Zu Art. 26 (S. 47). Die andere Methode, die Garns
hier im Sinne hat, beruht ohne Zweifel auf der Darstellung
der krummen Oberflächen, die in der mehrfach citirten Ab-
handlung zur Fiächentheorie gegeben ist, bei der die recht-
winkligen Coordinaten ?/, % eines Punktes der Fläche als
Functionen zweier unabhängiger Variablen p, q dargestellt sind.
Dieser Weg hat überdies vor dem im Text eingeschlagenen
den Vorzug der Symmetrie und mag hier kurz skizzirt werden.
Wir wenden die Bezeichnung an, die Gauss in der Abhand-
lung über die Flächentheorie gebraucht.

Wir setzen

dx = adp 4- a'dfj ,
dy = bdp -\- b'dq ,
dz = r-dp -f- r 'dfj y

also

bx bx by by

a ■ — — - , a = - , f> — t b = — ,
bp 1 bq bp 1 bq

bz , b %

Dann ergeben sich für jlie Cosinus der Winkel, die die
Normale n mit den Ooordinatenaxen bilden, die Ausdrücke:

, . bc' — (-}) ca—ae' ab' — ba

W = ~j — > 5 = ^ » z =- j ■■ >

worin

^ = V[bc' - r//)2 4- [ra' - ae')* + (ab' - W)2

und

(2) X2 4. ys 4-/2=1.

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Ii 1 Anmerkungen.

Die Quadratwurzel ist positiv zu nehmen, wenn die Richtungen
der positiven dp , dq, dn in demselben Sinne auf einander
folgen, wie die der positiven x, ?/, s-Axe. (Man braucht, nm
dies einzusehen, nur die Richtungen von sc, //, % mit dp, dq, dn
zusammenfallen zu lassen.)

Das Quadrat des Linienelementes ds auf der Fläche ü
hat den Ausdruck

,/. s -2 = dx* + dy l -f- dx' 1 = Edp* -f- 2 Fdpdq + Gdg* ,

worin

E = «2 + &2 + ,

7?' = aa' + cc',

ö = a"* 4- //2 -4- ß'*.

J l — EG — F 1 ,
und für das Oberflachenelement r/T kann man setzen

dV = J dp dq = VEG^F* dp dq .

Wenn nun durch die Variation von V die Coordinaten jc, y, x,
eines Punktes in ./ -|- ÖV, // -f- (5//, ~ + dz übergehen, so
können auch dx, iy, dte als Functionen von p und </ be-
trachtet werden, und es ergiebt sich

ö V — ff \ FÖ (i + IUÖE- FÖF) ( ^p-

= y*; J F() (V + i - FiF) ^ •

Um nun diesen Ausdruck weiter umzuformen, bedienen wir
uns des Zeichens um die Summe dreier entsprechender,
auf die d y //, s bezüglicher Ausdrücke zu bezeichnen, also
z. H. F= F= 5a«, (V = 2a'«, und

|dJ?= 2a<Ja, cU'= I aöa' 4- a'iaj, Jdc; = Za'da'.

Setzen wir noch zur Abkürzung

Anmerkungen. 65

so folgt

ÖU =Js($da + g da) dp dq ;

darin ist

b ()x

und folglich
und wenn hierin

bx bdx ß ^

.. b X

bp bp 1

*

^.böx biidx
s b p bp

^bdx bgdx

* bq ~ bq

*3

gesetzt wird, so zerfällt öf r in zwei Theile
die wir so darstellen:

In dem ersten Thejl (5 7^ lilsst sich eine Integration ausführen
(ähnlich wie in Art. 22), und es ergiebt sich für ö (\ ein über
den Rand P zu erstreckendes Integral

dt', =f2{$dq-gdl,)ÖX,

worin aber dp, dq nicht mehr im absoluten Sinne, sondern
mit dem Vorzeichen behaftet zu nehmen sind, das einem posi-
tiven Element der Randcurve dP entspricht (Art. 20).

Setzt man in £, §' für E, F, G ihre Ausdrücke durch
a y a'j . . . ein, so ergiebt eine leichte Rechnung

(4) < = &'Z-c'y, g = -bZ + cY,

OstwalU's Klassiker. 135. 5

I

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66 Anmerkungen.

und demnach erhält man für dl\

Ö U { =J 2 [Zdy - Ydx) Öx ,

worin die dx, dy y dz die Projectionen von dP auf die Co-
ordinatenaxen sind. Es ist aber nach der Bezeichnung im Text

X = cos (1, 4) , dx = dP cos (1, 6) , öx — de cos (1, 5) ,

und da die Richtung 7 auf 4 und 6 senkrecht steht, während
6, 7, 4 in demselben Sinne auf einander folgen wie 1, 2, 3,
so ergiebt sich

6U X = — J de cos (5, T)dP,

was der erste Theil des Ausdruckes d U in Art. 26 ist.

Es ist nun der zweite Theil d U% von d U umzuformen.
Nach der Definition der a, b } c, a\ b\ e ist

b a ba' a 2 x
bq bp bpbq

und demnach ergiebt sich nach (4)

etc.

öf öi" , f bZ t bY bZ bY

-. 4- ^ = b - - c! h-- + e— ,

bp bq bp bj) bq bq

br, bt]' r bX ,bZ bX bZ

v— -H v = '* -c « r v- + « . ,

ö^; 07 öj> oj> 07 07

dC , ÖL' , ÖY ÖA' bY , ÖA"
= - b .— —~a——-\-b

07; 07 dy> 07 07

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit
sodann mit //, r', und addirt jedesmal, so folgt mit Rück-
sicht auf (1), (2)

Saß + H '\ =J2X hX =0
^ \öj; 07/ bp 1

Daraus aber ergiebt sich, dass die drei Grössen:

o£ ajT ^5 öiy' öj;

bp + d7 ' + "d _ 7 ' öy> + ~bq

den

r, z

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Anmerkungen. 67
proportional sind. Wir setzen

bp bq

woraus durch Multiplication mit X, Y, Z und Addition

folgt, und es wird

<J r 2 = — JJ LJSXdx • dpdq ,
oder in der Bezeichnung des Textes Art. 25

dU 2 = —f L co 3 (4, 5) öedTJ.

Multipliciren wir die Gleichungen (5) mit X 7 l' ? Z und ad-
diren, so folgt nach (4) und (6)

LJ = 2^~ (c r Y - b'Z) - 2 (*Y - bZ)
und nach (3)

LJ* = - ©Ja \- + Flsa' ^ + a^'j - K2a' ^ •

\ bp 07/ ö 7

Aus IaX = 0, 2a X = 0 ergieht
neue Zeichen E', F\ 0' einführen

sich aber,

2a *f = - -A- * "

^a' hX — - ^X U
bp ' bp

2a \ X = -2X^
b 7 bq

■

bq bq

= -ö',

5*

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68 Anmerkungen,
woraus folgt

= QE' — 2 FF' 4- EG'.

Denken wir uns vom Punkte p, q aus eine geodätische Linie
auf der Fläche U gezogen, und nehmen an, dass auf dieser
die Coordinaten x, y, z (oder p, q) als Functionen der Länge r
dieser Linie gegeben seien, so ergiebt sich

worin q den Krümmungsradius der geodätischen Linie bedeutet,
positiv gerechnet, wenn die Curve ihre convexe Seite nach der
Richtung der positiven (äusseren) Normalen kehrt. (Die Zeichen-
bestimmung ergiebt sich, wenn man die x-Axe in die positive
Normale legt.) Es ist aber

d 2 x d 2 p , d 2 q I da dp da dq\ dp
a d7* + a dr 2 + [dp dr + dq ~dr) dr

Mdp da[dq\dq
^\dp dr^ dq drjdr

und daraus folgt, wenn man die Gleichungen (7) mit X, I r , Z
multiplicirt und addirt

« -i-*fö) ,+, '*S +ar ©)'

während ausserdem

k

sein muss. Die Richtungen der grössten und kleinsten Krttm-

dp da

mung erhält man, wenn man und ~ so bestimmt, dass

der Ausdruck (8) unter der Bedingung (9) ein Extremwerth wird.
Dafür ergeben sich nach den Regeln der Differentialrechnung
die Bedingungen

[E + qE')dp + (F -f- QV')dq = 0 ,
(F + Q F')dp + (0 + qG')dq = 0 ,

*) Vgl. Untersuchungen über krumme Flächen Art. 14.

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Anmerkungen. 69

oder durch Elimination von dp, dq die quadratische Gleichung
für 1

Q . .- .

^ + j[EG'+GE' — 2 FF') + (E' G' — F*) = 0 .

Hieraus aber folgt, wenn R und R' die Hauptkrtimmungshalb-
messer sind

also

_1 1 EG' + QE^_—2FF'

R R' ' ~~ '

dU 2 =föe{± + ±) cos (4, b)dU,

wie in Art. 26.

2) Zu Art. 20 (S. 48). Der Ausdruck für ö U

d U = -f 5e cos (5, 7)dP+f 5e cos (4, 5) (1 + -LJ d U

lässt sich auf folgende Weise geometrisch ableiten.

Wir denken uns von jedem Punkt der Fläche U die Nor-
male n gezogen und bezeichnen ein Element dieser Linie bis
zum Schnitt mit der variirten Fläche mit ön (positiv nach
aussen). Die Variation ist dabei so angenommen, dass nicht
nur die Verschiebung der Punkte, sondern auch die Aenderung
in der Richtung der Tangentialebene überall unendlich klein
ist, was auch in den Öawss'schen Entwicklungen stillschweigend
vorausgesetzt ist. Es ist dann de cos (4, 5) = ön .

Wenn wir mit dto das sphärische Bild des Elementes dU
bezeichnen, so ist (vgl. Gauss, Flächentheorie, Art. 6, 8)

dü=rRR'dio.

Verbindet man die Endpunkte aller Normalen d«, die über
dem Element dlT stehen, durch eine Fläche, so entsteht ein
neues Flächenelement dU -f- ödU , dessen sphärisches Bild
gleichfalls diu ist, in dem aber die Krümmungsradien

R + ön , R' + Ön

sind, da man in dem unendlich kleinen Element dU die Strecke
ön als constant betrachten kann. Es ist also

d U + Öd U ={R + ön) [R' -f. ön) dvj ,

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70 Anmerkungen.

also mit Vernachlässigung von dn 2

dd U + B') dndiu = + dn d U .

Es sei nun ferner v die Richtung der Flächentangonte, die
von einem Punkt des Elementes dP der Begrenzung von V
ausgeht und auf dP normal steht und von dem Flächensttick
U gesehen nach aussen gerichtet ist, und dv sei die Pro-
jection der Verschiebung de von dP auf v. Dann ist

dv = — de cos (5, 7) ,

und övdP ist die Fläche eines Rechtecks, dessen Seiten dv
und dP sind, und die Summe aller dieser Flächen ist bis auf
unendlich kleines höherer Ordnung gleich dem Zuwachs, den
die Fläche U durch die Verschiebung der Grenze erfahren hat.
Hieraus ergiebt sich für den ganzen Zuwachs von U

dU=fdvdP+f{±+*,}dndU,

was wieder mit der Formel des Art. 26 tibereinstimmt.
3) Zu Art 28 (S. 50). Nach Art. 28 soll das Integral

w f[ x + "ß+wj\' nin

für alle Variationen dn verschwinden, die am Rande P überall
= 0 sind, und die der Bedingung genügen

(2) f Ön d U = 0 ;

es wird geschlossen, dass dies unmöglich ist, wenn nicht der
Ausdruck

den wir für den Augenblick mit Q bezeichnen wollen , über
die ganze Fläche U constant ist. Vorausgesetzt muss dabei
werden, dass Q nicht unstetig sei.

Man überzeugt sich hiervon auf folgende Weise. Ange-
nommen, es seien zwei Punkte A, B auf der Fläche vorhanden,
in denen Q verschiedene Werthe Q\ und Qu hat, nnd es

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Anmerkungen.

71

sei etwa Qa <. Qu- Man nehme irgend einen Zahienwerth C
zwischen diesen beiden Werthen an, so dass also

Qa < C < Q H

ist. Nun kann man wegen der Stetigkeit von Q um die Punkte
A und Ii zwei Gebiete a, b auf der Fläche U abgrenzen, so
dass in a alle Werthe Q a von Q kleiner, in h alle Werthe Q b
grösser als C sind, dass also Q a — C in a negativ, Q b — C
in b positiv ist. Man nehme nun du ausserhalb der Gebiete a , b
überall gleich Null, in a aber du negativ, in b positiv, und
so, dass

(3) f Öu a dU a -h j dn b dU b = 0

wird, was offenbar immer möglich ist.
Dann soll also

(4) fQ a dn a d U a +f() b ön b dV b = 0

sein. Multiplicirt man aber (3) mit C und snbtrahirt das Pro-
duct von (4), so folgt

f{Qa - n d»a d r a + f{Q b - C) Ön b dr b = Q.

Dies ist aber unmöglich, weil {Q a — C)dn a und (Q b — <')dn ti
nur positive Werthe haben. Unsere Annahme, dass Q A von
Qu verschieden sei, ist also unstatthaft, d. h. es muss Q in
der ganzen Fläche U constant sein.

4) Zu Art. 34 (S. 67). Die Bestimmung der Capillar-
constanten leidet ausser an den von Gauss erwähnten Schwie-
rigkeiten vor allem noch an der Schwierigkeit, eine reine
OberHäche herzustellen. In der That liefern Methoden, die
es gestatten, mit möglichst frischen oder noch besser mit sich
immer erneuernden Oberflächen zu arbeiten , stets grössere
Werthe für die Capillarconstante, als andere Methoden. Ganz
besonders gilt dies vom Quecksilber. Nach den neuesten
Untersuchungen scheint die OberHäche von Quecksilber Gase
zu condensireu, was sich durch ständige Abnahme der Ca-
pillarconstanten zu erkennen giebt. Stöckle*) wies nach,
dass im Vacuum der Werth der Capillarconstanten nicht ab-
nimmt. Die Maximalwerthe ftir Quecksilber sind die von

*) Wiedemann's Annaleu. OG, 499.

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72

Anmerkungen.

G. Quincke*), gefunden mit der Steighöhenmethode bei her-
vorragend reinem Quecksilber, und die von G. Meyer**) mit-
tels »schwingender Strahlen«. Ist r die Dichte (für Quecksilber
13,6), so ist nach Gauss' schar Bezeichnung a 2 • c die Grösse,
die man heute allgemein »Capillarcoustante« nennt. Für diese
findet

G. Quincke 52,25 bis 56,43 ™ g ,

mm

Ii. Meyer 50 bis 53 B -

inm

mg

gegenüber dem Werthe von Gauss, der 44,2 — angiebt.

mm

Andere neuere Beobachtungen ergeben, dass diese Werthe bis
mg

etwa 37 im Contact mit Gasen abnehmen können***),
mm ;

5) Zu Art. 34 [S. 67, unten). Die hier von Gauss vor-
geschlagene Methode ist von G. Quincke zur Messung der Ca-
pillarconstantcn des Quecksilbers mittels Quecksilbertropfen j]
und zur Messung der von anderen Flüssigkeiten mittels Luft-
blasen sowie zur Messung von »Grenzflächenspannungen« ffj
verwendet worden.

i

AT

r

Bedeutet u den constauten Krümmungsradius an der höch-
sten Stelle des Tropfens, und A" die Höhe dieses höchsten

* Wiedemann's Annalen. 52, 19.
**) Ebd. «6, 523.

*** Vgl. hierüber die Zusammenstellung bei A. Kalähnc. Ann.
der Phvs 7, 473.

•f Voggendorff s Annalen. 105, 1.
tv Ebd. 129, 1.

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Anmerkungen. 7J>

Punktes über der festen HorizontaLebene . so liefert die erste
Fundamentalgleichung (VI) (S. 50) die Relation

11 _ 2 K — %

Ii + W ~ u a 2

Unter Berücksichtigung, dass der Tropfen als Rotationskörper
anzusehen ist, wird diese Gleichung

d 2 z 1 dz

dx 1 x dx 2 K — z

~ H "7 " ' ~ = ■ -T *

1 + (,;,) J V 1 + (,,.;)

Diese Differentialgleichung bietet der Integration grosse
Schwierigkeiten, und ist von Quincke auch nur unter gewissen
vereinfachenden Annahmen integrirt worden. Ist der Tropfen
sehr ausgedehnt, so wird er an der Stelle K nahezu eben,
also u sehr gross. Ks wird ferner, wenn 1? den Krümmungs-
radius der Curve KkE bezeichnet, 11' sehr gross, und die
Differentialgleichung erhält die Form

d 2 z

dx' 1 K~— ,

(('

>

— •

v>+W

Diese Gleichung lässt sich leicht- integriren, und giebt das

1 (K - :,)*

erste Integral

1 -

,l v \2 2ff 2 '

worin • die Integrationsconstante aus der Bedingung bestimmt

d z

wird, dass . = 0 sein muss für z = Ä". Setzt man darin

d x

d z

% — k und ^ unendlich, so folgt die sehr einfache angenäherte
Relation: 2 « 2 = ( A" — k) 2 .

Sind die Voraussetzungen nicht hinreichend erfüllt, so treten
noch Correctionen hinzu, bezüglich derer wir auf die Original-
arbeiten verweisen müssen.

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Druck von Kreitkopf & Härtel in Leipzig.

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II)

no. /$f
HIST